//
天津工业大学（2009—2010学年第一学期）

《数学物理方法》(A)试卷解答
(2009.12 理学院)

特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它
处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。

满分 30 42 20 8
总分
复

核
题目 一 二 三 四

得分

评阅人

一.
填空题(每题3分,共10小题)

1. 复数 ie1 的指数式为：iee ；
三角形式为：)1sin1(cosie .
2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数 为半径作一圆，则圆内所有点
的集合称为0z点的 邻域 .

3. 函数在一点可导与解析是 不等价的
(什么关系？).

4. 给出矢量场旋度的散度值，即f 0 .
5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属

-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线--------------------------------------- 学
院

专
业
班

学
号

姓
名

装
订
线

装
订
线

装
订
线

满分
30

得分
//
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .

6. 若函数)(zf在某点0z不可导，而在0z的任意小邻域内除0z外处处可
导，则称0z为)(zf的 孤立奇点 .

7. 函数的挑选性为 )()()(00tfdtf.
8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和
初始条件 .
9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、
输运方程 和 稳定场方程 .

10. 写出l阶勒让德方程: 0)1(2)1(222lldxdxdxdx .

二. 计算题(每小题7分，共6小题)
1. 已知解析函数)(zf的实部xyyxyxu22),(，求该解析函数
满分
42

得分
//
(0)0(f).

解： yxux2，xyuy2，2xxu，2yyu.
0xxyyuu, (,)uxy是调和函数. 2分
利用柯西-黎曼条件
xyuv,xyvu, 即，xyvx2,yxvy2， 2分
于是，

),()2()2(yxCdyyxdxxyv


)0,()0,0(),()0,()2()2()2()2(xyxxCdyyxdxxydyyxdxxy

Cxyxy222
22
. 2分

所以，)21()(2izzf. 1分
2. 给出如图所示弦振动问题在0x点处的衔接条件.
解：

),0(),0(00txutxu
, 2分

0sinsin)(21TTtF
, 2分

又因为
),0(sin011txutgx, ),0(sin022txutgx

, 2分

所以，
)(),0(),0(00tFtxTutxTuxx
. 1分

3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.
//
解：三维输运方程为

02uaut (1分)
分离时间变数t和空间变数r,以
)()(),(rvtTtru (2分)
上式代入方程,得
vvTaT2 (1分)

令上式等于同一常数2k,
22kvvTaT (2分)
则得骇姆霍兹方程为
02vkv (1分)

4. 在00z邻域把mzzf)1()(展开(m不是整数).
解：先计算展开系数：
mzzf)1()(， m
f1)0(
；

)(1)1()(1zfzmzmzfm


； mmf1)0(；

2)1)(1()(mzmmzf m
mmf1)1()0(


； 5分

)()1()1(2zfzmm
,

所以，mz)1(在00z邻域上的泰勒级数为
21!2)1(1!11)1(zmmzmz
mmmm

2!2)1(!111zmmzmm. 2分
//
5. 计算22sin21zzzdz.

解： 因为4nz(n为整数，包括零)，有0)sin21(2z，因
此，40nz是极点.但是，在2z圆内的极点只有4.又由于
1分
4]sin21)4[(lim24zzzz， 2分

4]sin21)4[(lim24zzzz， 2分
所以，
isfsfizzdzz222)]4(Re)4([Re2sin21. 2分

6. 求拉氏变换][costL,为常数.
解:  )(21costitieet, speLst1][ 2分

 )(21][costitieeLtL
][21][21titieLeL 2分
ipip1121 2分
22pp 0Rep 1分
//
三. 计算题

求解两端固定均匀弦的定解问题
02xxttuau

00xu，0lxu
，
)(0xut，)(0xutt

.

解: 设此问题的解为
)()(),(tTxXtxu
代入方程和初始条件，得
02TXaTX
，

0)()0(tTX，0)()(tTlX
，
可得，

X
XTaT

2
，

0)0(X，0)(lX
，
令，





X
XTaT

2
所以，




0)(,0)0(0lXX
XX


，(本征值问题)

02TaT

下面先求解本征值问题：
当0时， xxececxX21)(，

满分
20

得分
//
由初始条件，得 021cc，

因此，0),(txu，解无意义.
当0时， 21)(cxcxX，
同样由初始条件，得 021cc，
因此，0),(txu，解无意义.
当0时， xcxcxXsincos)(21，
由初始条件，得 01c，0sin2lc，
所以，0sinl，即，nl (n为正整数)，

因此本征值为：222ln ,3,2,1n
本征函数为：lxncxXsin)(2， 2c为任意常数. 10分
方程02TaT的解为：latnBlatnAtTsincos)(，
因此，

lxnlatnBl
atn
Atxunnnsinsincos),(
，

此问题的通解为：

lxnlatnBl
atn
Atxutxunnnnnsinsincos),(),(11




，

代入初始条件得


1)(sinn
n
xlxnA



， 1)(sinnnxlxnlanB，

所以，
lndlnlA0sin)(2， 
lndlnanB0sin)(

2



. 10分
//
四. 简答题

给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.
解： 泊松方程为：),,(zyxfu 3分
令 wvu，取v唯一特解， 2分
则 0fuvuw 2分
然后求解拉氏方程 0w 得w。 1分

满分
8

得分