§2 分类讨论思想 方法解读 1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度． 2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．

3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有： ①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；④反比例函数y＝kx(x≠0)的反比例系数k，正比例函数y＝kx的比例系数k，一次函数y＝kx＋b的斜率k与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y＝xa的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y＝ax及其反函数y＝logax中底数a＞1及a＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n项和公式中q＝1与q≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在． 4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象 确定讨论的全体

选择分类的标准 逐类进行讨论 获得初步结果 归纳整合 写出结论 分类突破 一、根据概念分类 例1 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则 实数a的取值范围是________． 解析 设函数y＝ax(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1.

a＞1

归纳拓展 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． 变式训练1 设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较loga (1－x)与 loga (1＋x)

的大小．

解 ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1. ①当0＜a＜1时，loga (1－x)＞0，loga (1＋x)＜0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝loga (1－x)－[－loga (1＋x)]＝loga (1－x2)＞0； ②当a＞1时，loga (1－x)＜0，loga (1＋x)＞0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝－loga (1－x)－loga (1＋x)＝－loga (1－x2)＞0. 由①②可知，loga (1－x)＞loga (1＋x).

二、根据运算需要分类 例2 已知在等比数列{an}中，a1＝1， Sn是其前n项和， 且ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)试判断Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列，并说明理由． 解 (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则ak＋1＝qk，ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1， 依题意得2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于qk≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12. (2)当q＝1时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2

＝k＋2，显然Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，

故Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列； 当q＝－12时，Sk＋1＝1－－12k＋11－－12＝231－－12k＋1， 同理可得Sk＋2＝231－－12k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3， 于是Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－12k＋2 ＝232－－12k＋1－－12k＋2＝431－－12k＋3＝2Sk＋3， 所以Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列． 综上所述：当q＝1时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．

归纳拓展 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论． 变式训练2 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0(n ＝1,2,3，…)． (1)求q的取值范围； (2)设bn＝an＋2－32an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小． 解 (1)∵{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1＞0；

当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＞0，

即1－qn1－q＞0(n＝1,2,3，…)， 上式等价于① 1－q＜01－qn＜0(n＝1,2,3，…)

或② 1－q＞01－qn＞0(n＝1,2,3，…) 解①式得q＞1； 解②式，由于n可为奇数、可为偶数，故－1＜q＜1. 综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由bn＝an＋2－32an＋1，得bn＝anq2－32q，Tn＝q2－32qSn，

于是Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)． 又因为Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0，所以当－1＜q＜－12或q＞2时，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn； 当－12＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn；

当q＝－12或q＝2时，Tn－Sn＝0，即Tn＝Sn. 三、根据图形形状位置变化分类 例3 如图所示，已知以点A(－1,2)为圆 心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， 过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交 于M，N两点，Q是MN的中点，直 线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程； (2)当MN＝219时，求直线l的方程；

(3)BQ→·BP→是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

解 (1)设圆A的半径为R. ∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

∴R＝－1＋4＋75＝25. ∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN. ∵MN＝219，∴AQ＝20－19＝1.

由AQ＝k－2k2＋1＝1，得k＝34. ∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0. ∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP，∴AQ→·BP→＝0. ∴BQ→·BP→＝(BA→＋AQ→)·BP→＝BA→·BP→＋AQ→·BP→＝BA→·BP→. 当直线l与x轴垂直时，得P－2，－52.

则BP→＝0，－52，又BA→＝(1,2)， ∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－5. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．

由 y＝k(x＋2)，x＋2y＋7＝0，解得P－4k－71＋2k，－5k1＋2k.

∴BP→＝－51＋2k，－5k1＋2k. ∴BQ→·BP→＝BA→·BP→＝－51＋2k－10k1＋2k＝－5. 综上所述，BQ→·BP→是定值，且BQ→·BP→＝－5.

归纳拓展 一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等． 变式训练3 设F1、F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为 椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2.求PF1PF2的值． 解 若∠PF2F1＝90°，则PF12＝PF22＋F1F22， ∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝25， 解得PF1＝143，PF2＝43，∴PF1PF2＝72. 若∠F1PF2＝90°， 则F1F22＝PF12＋PF22＝PF12＋(6－PF1)2. ∴PF1＝4，PF2＝2，∴PF1PF2＝2.

综上知，PF1PF2＝72或2.

规范演练 一、填空题 1．已知函数f(x)＝ 2x，x＞0，x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数 a＝________. 解析 由题意可知f(1)＝21＝2. ∴f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0. ①当a＞0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解； ②当a≤0时，f(a)＝a＋1， ∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.

－3