m
离散卷积；生成矩阵；码多项式
例: {gi}={1,1,0,1}, 输出ci为:
ci = g0ui + g1ui−1 + g2ui−2 + g3ui−3 = ui + ui−1 + ui−3
卷积码
卷积编码
信息序列{ui}通过冲激响应为{gi}的线性系统,输 出ci是编码序列
码率为1,不存在冗余注 增加冗余
例: (7，5) CC码
输入{ui}={1011000…} 冲激响应{gi}={111,101} 输出{ci}?
(n,k,m)/(n,k,K)卷积码
n×k
k input
n output
(n,k,m)卷积码：k个输入信息比特, n个输出编码比特, m=K-1组移位寄存器, 每组k个寄存器单元
m: 约束长度; 一般n,k取值小, m大 可看成(n×k)个FIR构成的MIMO网络 约束长度越大,一般码字纠错性能越好 编码的效率: k/n
( ) c = c10c02c11c12c12c22
例：离散卷积法
(2,1,3)卷积码（图9.5.2）
u = (10111) g1 = (1011), g2 = (1111) c1 = u * g1 = (10000001) c2 = u * g2 = (11011101) c = (1101000101010011)
g0 (1,1)
g1 (k ,1)
g1 (1,1)
gm (k,1) gm (1,1)
ct (1)
g0 (k, i) g0 (1, i)
g1(k, i) g1(1, i)
gm (k, i) gm (1, i)
ct (i ), i = 1, , n
例: (n,k,m)卷积码生成矩阵法
g 2,n l
⎞ ⎟ ⎟
⎟
glk,n ⎟⎟⎠
生成矩阵法
(n,k,m)卷积码的生成序列一般表示式为
g (i, j) = (g0 (i, j) , ,gl (i, j) , ,gm (i, j))
i = 1, ,k ; j = 1, ,n;l = 1, ,m
g0 (k,1)
( ) ut = ut,1, ut,2 , , ut,k
离散卷积法
输入到输出的每个分支所构成的系统都是线 性时不变系统，用冲激响应来表征线性时不 变系统，输出是输入与冲激响应的卷积
u = (u0u1u2 )
( ) ( ) g1 = g10 g11 g1m , g2 = g02 g12 gm2
c1 = u ⊗ g1, c2 = u ⊗ g2
( ) ( ) c1 = c10c11c12 , c2 = c02c12c22
相应的冲激响应也叫生成序列
码多项式法
将输入序列、生成序列和输出序列分别用码多项式 表示，容易验证，输出码多项式等于输入码多项式 和生成序列码多项式的乘积
u ↔ u(x),g ↔ g(x),c ↔ c(x) c(x) = u(x)g(x)
注意：
线性分组码中，约定从左到右是MSB (Most Significant Bit) 到LSB (Least Significant Bit)，对应多项式的高次到低次
=
⎜ ⎜
⎜
G0 G1 G2 G3 G0 G1 G2 G3
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎝
⎠
(n,k,m)生成矩阵法
生成矩阵
⎛ ⎜
G0
G
=
⎜ ⎜
⎜
G1 G0
G1 G0
Gm G1
Gm
Gm
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎝
⎠
Gl
⎛
⎜
=
⎜ ⎜
g1,1 l
g 2,1 l
g1,2 l
g2,2 l
⎜⎜⎝ glk,1
gk,2 l
g1,n l
↔ c2 = (11011101)
例: 生成矩阵法
(2,1,3)卷积码
u = (10111)
⎛11 01 11 11
⎞
⎜ ⎜
11 01 11 11
⎟ ⎟
G =⎜
11 01 11 11
⎟
⎜
⎟
⎜
11 01 11 11 ⎟
⎜⎝
11 01 11 11⎟⎠
c = uiG = (1101000101010011)
生成矩阵法
以(2,1,3)卷积码为例推导
⎛ ⎜
g10
g02
⎜
ห้องสมุดไป่ตู้
g11 g12 g10 g02
g12 g22 g11 g12
g31 g32 g12 g22
g31 g32
⎞ ⎟ ⎟
G =⎜ ⎜
g10 g02 g11g12 g12 g22 g31 g32
⎟ ⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎟⎠
⎛ G0 G1 G2 G3
⎞
⎜
第9章 信道编码 —卷积码
信息与通信工程学院 无线信号处理与网络实验室
彭岳星 yxpeng@
6228 2245
9.5 卷积码
卷积
序列{ui}通过冲激响应为{gi}的线性系统,输出ci是 卷积的结果
∑ ∑ ci = ui ⊗ gi = um gi−m = gmui−m
卷积的三种计算方法m
卷积码中，习惯是从左到右对应多项式的次数从低到高 例：1101如是循环码生成多项式,则g(x)=x3+x2+1
如是卷积码的第i个生成多项式,则gi(x)=1+x+x3
例:码多项式法
(2,1,3)卷积码（图9.5.2）
u = (10111) ↔ u ( x ) = 1+ x2 + x3 + x4 g1 = (1011) ↔ g1 ( x ) = 1+ x2 + x3 g2 = (1111) ↔ g2 ( x ) = 1+ x + x2 + x3 c1 ( x) = u( x) g1 ( x) = 1+ x7 ↔ c1 = (10000001) c2 ( x) = u( x) g2 ( x) =1+ x + x3 + x4 + x5 + x7
卷积码与分组码的区别
编码
分组码的当前的一组输出（n个码元）只与当前的一组 输入（k个输入信息位）有关（无记忆性）
卷积码的当前的一组输出（n个码元）不仅与当前的一 组输入（k个输入信息位）有关，还与前面的m组输入 （记忆性）。即卷积码的当前一组输出（n个码元）共 与(m+1)k个输入信息位有关
性能
在编码结构相当的情况下，卷积码的性能优于分组 码，因而是作为前向纠错码的好的选择之一。
研究成熟度
分组码有好的代数工具，研究比较成熟透彻； 卷积码没有好的代数工具，研究不是很透彻。
卷积码的表示方法
解析表示法
离散卷积法 生成矩阵法 码多项式法
图形表示法
状态图法 树图法 格图法