2G(x, x) 1 (x x)
0
代入Green第二公式，有
V
G
xv,
xv 2
xv
xv 2G
xv,
xv dV
Ñ S
G
xv,
xv
xv
n
xv
G xv,
n
xv
dS
因为Green公式中积分，微分都是对变量 x进行
的，由于Green函数关于源点和场点是对称的，
即 G(xr, xr) G，(为xr,方xr )便起见，把变量 换为 ，x
V
V
对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为 (xr ) (xr xr)
因此有
2
2、Green函数
一个处在 x 点上的单位点电荷，它所激发的电势方程为
2 1 (x x)
(3)
0
假设有一包含x点 的某空间区域V，在V的边界S上有如下
边界ห้องสมุดไป่ตู้件
0 或者 1
(4)
S
n S 0S
则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为泊松方程
V
S n
6
V
2 dV
ÑS
n
dS
如果令 av ，即将φ和ψ对调，同理可得
V
2
dV
Ñ S
n
dS
将以上两式相减可得
2 2 V
dV
Ñ S
n
n
dS
Green第二公式
（2）边值问题的解
边值问题：给定区域V内电荷分布 (x)，区域V 的边界
面S上各点的电势 或S电势法向偏导数
V内各点的电势值
n
，称为第三
S
类边值问题，也称混合边值问题。
1
1、点电荷密度的δ函数表示
点电荷的特点是在点电荷所在处的电荷密度为无穷大，而
在其他地方电荷密度为零。
若在 x处 有一点电荷Q，则电荷密度可写为
(xr ) lim Q
V 0 V
Q
(xr
-
xr)
0
xr xr xr xr
显然 (x)d Q (x x)d Q
代表观察点坐标（场点坐标）。
证明上述Green函数是否满足Green函数所满足的微
，求区域
n S
2 S
n S
7
待求的边值问题：
2
1
(
x)
0
相应的Green函数问题是：
SV
给定了(x)
2G(x x) 1 (x x) 0
边界条件：
G 0 或 G 1
S
n S 0S
现在，取 满足 2 1 (x) 0
8
取 满足
2 2 V
dV
Ñ S
n
n
dS
2
——Green函数法4
Green函数法：
① Green函数实际上是对应于给定问题 的单位点源的电势解； ② 原问题的解可以通过这个点源的解 表示出来;通过格林公式，把静电边值 问题与相应的格林函数问题联系起来。
xv
S ( xv) V
P
G xv, xv
S
n S
③ 原则上可以把任何问题的解表示成积分形式
xv dV
1
0
V
xv
(xr
xr )dV
xv
0
在上式左边第一项中利用 2 1 (x)
0
V
G
xv,
xv
xv
0
dV
xv
0
ÑS
G
xv,
xv
xv
n
xv
G
xv,
n
xv
dS
xv
V
G
xv,
xv
xv
dV
0
ÑS
G
xv,
xv
xv
n
xv
G
xv,
n
xv
dS
此即为泊松方程的解 xv与Green函数G xv, xv之间的关系
在区域V的第一类或第二类边值问题的Green函数。
3
Green函数一般用G(xv, xv)表示， xv表示单位点电荷 所在的位置， xr 代表观察点，在（3）式和（4）式中，
把 换成G，即Green 函数所满足的方程和边界条件为
2G (
xv,
xv)
1
0
(
xv
xv)
G( xv, xv) S 0,
格林函数
静电场的基本问题：
2
SV
xv
给定区域V内电荷分布 (x) ，和区域V 的边界面S上各
点的电势
的电势值
S 或电势法向偏导数
，求区域V内各点
n S
➢ 给定边界面S上的电势 S ，称为第一类边值问题
➢给定边界面S上的电势法向偏导数 类边值问题
n
，称为第二
S
➢ 给定S上的部分电势
S和S上的部分
或
G( xv, xv) 1
n S 0 S
(5)
S
点电荷 r
场点
z x x V
oy
x
Green函数G(xv, xv)是位于 xv处的单位正点电荷在特定 边界条件下在 xr处激发的电势，是点源产生的场。
当电荷源被分解成很多点源的叠加时，如果知道点源
所产生的场，利用叠加定理，可以求出同样边界条件下任
意电荷源的场。
10
11
|| 0
12
13
14
xv
V
G
xv,
xv
xv
dV
0
Ñ S G
xv,
xv
xv
n
dS
S
电势在界面 S上的1平5 均 值
Green函数方法：静电边值问题转化到求解相应的Green 函数问题
16
17
4、不同区域的Green函数 以上的讨论，表面上似乎把静电边值问题的解找到，
其实并非如此，因为只有把问题的Green函数找到了， 才能对表达式（第一类边值问题的形式解和第二类边 值问题的形式解）作出具体的计算。实际求Green函数 本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形 式解的意义。
即得 x
9
V
G
xv,
xv 2
xv
xv 2G
xv,
xv dV
Ñ S
G
xv,
xv
xv
n
xv
G xv,
n
xv
dS
V
G
xv,
xv
2
xv
xv
2G
xv,
xv
dV
Ñ S
G
xv,
xv
xv
n
xv
G
xv,
n
xv
dS
上式左边第二项为
2G(x, x) 1 (x x) 0
V
xv2G
xv,
在这里介绍几种不同区域的Green函数。
18
（1）无界空间的Green函数
即在无穷大空间中放一个单位点电荷，求 空间某处的电势，也就是Green函数。
G( xv, xv) 1
4 0
1 xv xv
1
4 0
1
x x2 y y2 z z2
其中，x 代表单位电荷的所在位置（源点坐标），x
（1）Green公式
根据高斯定理，对于任意矢量函数 av有
V
avdV
蜒S av
v dS
S
andS
evn
S
V
xv xv
设闭合曲面S包围的区域V内有两个连续可微的标量函数 xv
和 xv ，令 av ，则有
av 2
Q
an
ar
evn
evn
n
Ñ
2 dV dS Green第一公式
首先找到泊松方程的解 xv与Green函数 G xv, xv之间的关系
其次求出与 xv具有相同空间、同类边值问题的Green函数
2 S
n S
2G (
xv,
xv)
1 0
(
xv
xv)
G( xv, xv) S 0,
或
G( xv, xv)
1
n S 0 S
5
3、Green公式和边值问题的解