因为 (Ô Û)+ = Û+ Ô + = Û Ô ≠ Ô Û
仅当 [Ô , Û] = 0 成立时, (Ô Û)+ = Ô Û 才成立。
证:
设
^
Q
为厄米算符，其本征方程
^
Q
*Q ^d(Q ^)*d
* d** d
（* 实数）
例
例
量子力学基本假定
量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。
若力学量在经典力学中有对应的量,则在直角坐标系下 通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：
力 对学 于量 任算 意F符 ˆ波的函本数 ：征有函r{数 1,2,Cnnn}r是 正交归一的而且备是的完
n
波函数完全描述了体系状态 若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值 的相应的概率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全 描述了体系状态。
一些基本表达式
分立谱
本征值方程 ： 正交归一性 ：
高等量子力学
一、 量子力学的建立 二、 量子力学基本原理 三、 量子力学的理论方法 四、 量子力学的应用
二、 量子力学基本原理
§1 波函数的统计解释原理 §2 态叠加原理 §3 体系状态波函数满足薛定谔方程 §4 力学量用厄米算符表示 §5 体系状态波函数可用算符的
本征函数展开 §6 不确定度关系 §7 全同性原理
F F (r,p)
r r ˆ r p p ˆ i F F ( r ,p ) F ˆ F ( r ˆ ,p ˆ )
若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋 等），将由量子力学本身定义给出。
§5 体系状态波函数可用算符的 本征函数展开
表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本 征函数系。
2。完备 ： 性
n*dx 0
x C nnxxcxd n
3.归 一 化：条 件
|cn |2 c2d1 n
4.平均值 ： 公 F 式 *F ˆdx
|cn|2nc2d n
6 不确定度关系
两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不 存在共同本征函数，不同时具有确定值。
问题：
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟 不确定到什么程度？即不确定度是多少？
力学量算符
坐标算符 rˆ
动量算符 Pˆ 力学量算符
Fˆ rˆ , Pˆ
坐标表象
动量表象
rˆ r
Pˆi
rˆ i p Pˆ P
Fˆ r,Pˆ Fˆr,i
F ˆ rˆ,PF ˆ i ,P P
其中
i j k x y z
i j k P Px Py Pz
(二）算符的本征方程、本征值与本征函数
(2) 厄密算符
1. 定义:
满足下列关系 的算符称为 厄密算符.
d*Oˆd(Oˆ)*
2. 性质
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
即
若
Ô + = Ô , Û+ = Û
则
(Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
或 Oˆ Oˆ
性质III: 厄米算符的本征值必为实数
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。
E•t
2
力学量测量问题
一个粒子处于力学量Fˆ 的本征态态下 n(r)
测量该力学量时,所得结果是完全确定的,即为 F n
但如粒子处于非本征态 ( r ) C nn ( r )
即很多本征值Fn的本征态 n 的叠加,测量粒子的力学量Fˆ 时,
求和中所包含的力学量本征值Fn都有可能出现,出现的概率为| C n |2
注意
（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而
言表；示对F(于rP 动)量中表的象坐，标表变示量力r 学换量成F坐的标算算符符是rˆ将i经典P
即 F(r,P)
F ˆ(r ˆ,P ) F (i P ,P )
（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学 中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。
F：
x C nn x
n
C n n * dx
处于
态时
，
测量
Fˆ 得到
的
n
概率是 C n 2
归一化条件 ： 平均值公式 ：
| cn |2 1
n
F
| cn |2 n
n
* Fˆ dx
连续谱 Fˆ
*d x c x d
（1）复共轭算符与厄密共轭算符
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
例如: 坐标表象中
pˆ*(i)* ipˆ
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义: d *O ˆ d (O ˆ)*
~ 可以证明： Oˆ Oˆ *
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
当测量结果为某个本征值Fn时,粒子的状态就变为相应的
本征态 n ,
量子力学称之为量子态坍缩(collapse)
算符 Fˆ 作用在函数上，等于一常数 乘以
即 Fˆ 此称为算符 Fˆ 的本征方程
称为其本征值，为其本征函数。
如果算符 Fˆ描述力学量 F ，那么当体系处于 Fˆ
的本征态中时，力学量 F 有确定值，这个值就是Fˆ 属于该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系
(三) 厄密算符
§4 力学量用厄米算符表示
经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。
量子力学引入了波函数这样一个基本概念，以概 率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不 能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重 要的基本概念——算符，用它表示量子力学中的力学 量。
c * x x dx
处于 态时测量 Fˆ得到的值在
d 的概率是 c 2 d
c 2 d 1
F c 2 d
* Fˆ dx
分立谱和连续谱同时存在
力学量 F ˆ的算 本符 征值既 有有 连 ：分 续立谱又
1，2， ，n，
1。本征函数的 ： 正交归一性
n*mdx nm *dx
设二厄密算符对易关系为： F ˆG ˆG ˆF ˆik ˆ
有：
(F ˆ)2•(G ˆ)2 (k)2
4
其中： k*kˆd
不确定度关系
均方偏差
(F ˆ)2 (F ˆF)2
F2
2
F
坐标和动量的不确定度关系
x•px 2
海森堡的不确定原理于1927年3月23日发表 在《物理学杂志》上
随后海森堡又发现了能量与时间的不确定度关系