数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间.
以后仍用 Rn 来表示这
个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积
节定义与基本性质
内积
度量矩阵 举例
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算.
如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，
那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，
在线性空间的理论中没有得到反映.
但是向量的度
量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊
的地位，因此有必要引入度量的概念.
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的
长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k)
k 2 (,) | k || | .
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
= ( , ) + ( , ) .
由条件
有 ( , ) 0 .
所以对于任意的向
量 ， (,) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (,) . 类似地，我们在一般的欧几
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
1. 定义
定义 2 非负实数
( , ) 长 称为向量 的
式就
是
| a1b1 a2b2 anbn | a12 a22 an2 b12 b22 bn2 .
对于
中的欧几里得空间 C(a , b) ，
式就是
1
1
b f (x)g(x)dx b f 2 (x)dx2 b g 2 (x)dx2 .
为
, arccos ( , ) , 0 , π . | || |
2. 三角不等式
根据柯西 - 布涅柯夫斯基不等式，我们有三角 形不等式
|+|||+||.
(6)
因为
| + |2 = ( + , + ) = ( , ) +2( , ) +( , ) | |2 +2 | | | | + | |2 = (| | + | |)2 .
在直角坐标系中的坐标表达式.
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2) 也构成欧几得里空间.
3. 欧几里得空间的性质
下面来看欧几里得空间的一些基本性质.
首先，定义中条件
表明内积是对称的.
因此，与
相当地就有
2 ) ( , k ) = (k , ) = k( , ) = k( , )； 3 ) ( , + ) = ( + , ) = ( , ) + ( , )
即
( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
(5)
取
t (, ) . ( , )
代入 (5) 式，得
( , ) ( , )2 0 , ( , )
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
一、内积
1. 定义
定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在
内积 V 上定义了一个二元实函数，称为
，记作
( , )，它具有以下性质：
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立.
反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
证毕
3. 两个著名的不等式
对于
中的欧几里得空间 Rn ，
设 , 是任意两个向量，则
| ( , ) | | | | |，
(4)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立.
证明
设 0.
当 = 0 时，(4) 式显然成立.
令 t 是一个实变数，作向量
=+t.
由
可知，不论 t 取何值，一定有
以下
( , ) = ( + t , + t ) 0.
a
a
a

4. 单位向量
长度为 1 的向量称为单位向量.
则由 | k | = | k | | |
知，向量
如果 0，
1 | |
是一个单位向量.
用向量 的长度去除向量 ，
得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把
单位化.
三、夹角
1. 夹角的定义 定义 3 非零向量 , 的夹角 < , > 规定