§2 标准正交基的定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
如果它们两两正交,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是1,则称 为正交单位向量组(或标准正交向量组).
事实 向量组1, 2, …, s是一个
标准正交向量组, 当且仅当
1
(i , j )
0
i j, i j.
第9章 欧几里得空间习题课
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基的定义及求法 §3 正交变换，对称变换 §4 子空间的正交补 §5 实对称矩阵的标准形 §6 向量到子空间的距离
§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质:
, 之间的夹角定义为 , arccos ( , )
注(1) 显然有0 <, > ．
(2)由C-S不等式,上述定义有意义.
定义 设V是欧氏空间, 对, V, 如果
(, ) = 0 则称与 正交, 记作.
零向量0与任何向量正交.
定理 在欧氏空间中，下述式子成立：
(1) 三角形不等式: + + ; (2) 勾股定理: 当⊥ 时, +2=2+2.
(A, A) = (, ) ,V,
(1)(, )=(, ); (2)(+, )= (, ) + (, ); (3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0当且仅当=0.
其中, , 都是V中向量, k为任意实数. 则称(, )为向量与的内积 ．
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间．
例1 在线性空间Rn中，对于向量
2
( j , ( j1
j1 ) , j1 )
j1
j 1, ..., m
然后将正交向量组1,2,,m单位化
即令
i
i i
,
(i 1,2,, m)
则向量组1, 2, , m即为与向量组
1,2,,m等价的正交单位向量组．
四. 正交矩阵
定义 设A是n阶实矩阵, 如果满足 ATA = AAT = E
=(a1, a2, …, an)， = (b1, b2, …, bn) 定义 (, ) = a1b1+a2b2+…+anbn
则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示．
内积的性质
(1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,);
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量,则一定存在
一个正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
定理 设1,2, …,n与1,2,…,n
是欧氏空间V中两组基, 由基
1,2, …,n到基1,2,…,n的过渡矩 阵是C。若 1,2, …,n是标准正交
基， 则C是正交矩阵, 当且仅当
1,2,…,n是标准正交基。
§4 正交变换，对称变换
一. 定义
定义 若A是欧氏空间V的线性变换, 如 果它保持向量的内积不变, 即
由于(, )0,所以向量的长度一般
是非负数, 有且仅有零向量的长度才是零． 长度为１源自向量称为单位向量.如果 0,
则
1
是一个单位向量.
通常称此过程为把 单位化．
定理(Cauchy-Schwarz不等式)
设V是欧氏空间，则关于任意, V，有
(, ) ,
且等号成立当且仅当与 线性相关。
定义 在欧氏空间V中, 任意两个非零向量
定理 正交向量组是线性无关的． 推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零 向量的个数不会超过n．
二. 正交基 定义 在n维欧氏空间中, 由n个两两 正交的非零向量构成的向量组称为 正交基.
由单位向量组成的正交基称为 标准正交基.
一组基是标准正交基当且仅当它的度
量矩阵是单位矩阵.
定理 设1, 2,…, n是n维欧氏空间V的 一组标准正交基, 对, V,设向量 ,的
定理 在欧氏空间中勾股定理成立：
设1,2,…,s两两正交，
则
1+2+…+s 2 = 12+ 22 +… + s 2
三. 度量矩阵
定义 设1,2,…,n是n维欧氏空间V
的一组基, 作矩阵
(1,1) (1, 2 ) (1, n )
A
(
2
,
1
)
( 2, 2 )
( 2, n )
( n,1) ( n, 2) ( n, n )
称A为基1, 2, …, n的度量矩阵．
度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵
（2）设A为基1，n的度量矩阵。 若=x11++xnn, =y11++ynn,
则
(, )=XTAY,
其中X,Y为,的坐标列向量。
（3）度量矩阵是正定矩阵. 因为 关于X0,
(,)= XTAX>0.
（4）不同基的度量矩阵是合同的。 （5）每一个n阶正定矩阵都可作为Rn中 某个基的度量矩阵（见习题1）。
坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T 则
(1) xi = (, i )
i=1,2,…,n
(2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基.
则称A为正交矩阵 (orthogonal matrix)．
正交矩阵性质
定理 设A, B都是n阶正交矩阵， 则
(1) A= 1; (2) A可逆, 且A－1 = AT; (3) AT(即A－1 )也是正交矩阵; (4) AB也是正交矩阵.
定理 n阶实矩阵A是正交矩阵的 充要条件是, A的列(行)向量组为Rn的 正交单位向量组(标准正交基).
= (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.
n
m
nm
(4) ( ki i , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
i1 j1
二. 长度与夹角
由于(, )0, 在欧氏空间可引进向量的
长度的概念．
定义 在欧氏空间中,非负实数 (,)
称为向量的长度, 记作．