定理 正交向量组是线性无关的． 推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零 向量的个数不会超过n．
二. 正交基 定义 在n维欧氏空间中, 由n个两两 正交的非零向量构成的向量组称为 正交基.
由单位向量组成的正交基称为 标准正交基.
一组基是标准正交基当且仅当它的度
量矩阵是单位矩阵.
定理 设1, 2,…, n是n维欧氏空间V的 一组标准正交基, 对, V,设向量 ,的
例1 设A是n阶实反对称矩阵，则
（1）E+A 可逆； (2) U (E A)(E A)1
是正交矩阵。
解 (1)（法一）因为A反对称，故它的特征值只 能是0或纯虚数，从而-1不是A的特征值，故 E+A可逆。
例1 设A是n阶实反对称矩阵，则
（1）E+A 可逆；
(2) U (E A)(E A)1
实系数线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1s xs b1
a21
x1
a22
x2
a2s
xs
b2
an1 x1 an2 x2 ans xs bn
可能无解,即任一组实数x1, x2, …,xs,都使
n
(1)
(ai1 x1 ai 2 x2 ais xs bi )2
i 1
不等于零.
现设法找x10, x20, …,xs0, 使
n
(1)
(ai1 x1 ai 2 x2 ais xs bi )2
i 1
为最小, 称此x10, x20, …,xs0为方程组 的最小二乘解;
此类问题称为最小二乘问题.
ATAX=ATB. 这就是最小二乘法所满足的代数方程, 它是一个线性方程组, 系数矩阵是ATA, 常数项是ATB.这种线性方程组总是有 解的.（为什么？）
定理 在欧氏空间中勾股定理成立：
设1,2,…,s两两正交，
则
1+2+…+s 2 = 12+ 22 +… + s 2
三. 度量矩阵
定义 设1,2,…,n是n维欧氏空间V
的一组基, 作矩阵
(1,1) (1, 2 ) (1, n )
A
(
2
,
1
)
( 2, 2 )
( 2, n )
( n,1) ( n, 2) ( n, n )
第9章 欧几里得空间习题课
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基的定义及求法 §3 正交变换，对称变换 §4 子空间的正交补 §5 实对称矩阵的标准形 §6 向量到子空间的距离
§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质:
§2 标准正交基的定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
如果它们两两正交,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是1,则称 为正交单位向量组(或标准正交向量组).
事实 向量组1, 2, …, s是一个
标准正交向量组, 当且仅当
1
(i , j )
0
i j, i j.
= (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.
n
m
nm
(4) ( ki i , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
i1 j1
二. 长度与夹角
由于(, )0, 在欧氏空间可引进向量的
长度的概念．
定义 在欧氏空间中,非负实数 (,)
称为向量的长度, 记作．
4. 将特征向量1 , 2 ,,n正交化,单位化,得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形

f
1 y12
n
y
2 n
.
§6 向量到子空间的距离，最小二乘法
一. 向量到子空间的距离
欧氏空间V的两个向量和的距离定义为:
d(, ) = -
距离的性质:
d(, )=d(, ); d(, )0, 并且仅当=时等号成立; d(, )d(, ) + d(, ) (三角不等式)
命题 设W是欧氏空间V的一个子空间,
是V中的一个向量. 又设是W中一个向 量, 使-垂直于W, 则对W中任一向量,
都有
- -
反过来，设W是欧氏空间V的一个子空间, 是V中的一个向量. 又设是W中一个向量, 若对W中任一向量,都有
- - , 则-垂直于W。
二. 最小二乘法
最小二乘问题:
一. 正交
定义 设V1,V2是欧氏空间V中两个子空
间.如果对于任意的V1,V2,恒有 (, )=0.
则称V1,V2是正交的,记为V1V2.
对于向量V，如果关于任意的
V1,恒有
(, ) =0.
则称与子空间V1正交,记为 V1.
性质
（1）若 V1, 且V1, 则有=0.
（2）若V1V2,则V1∩V2={0} ;
=(a1, a2, …, an)， = (b1, b2, …, bn) 定义 (, ) = a1b1+a2b2+…+anbn
则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示．
内积的性质
(1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,);
(A, A) = (, ) ,V,
则称A是正交变换.
定义 设A是欧氏空间V上的一个线性变 换,如果满足
(A, )=(, A)
则称A是对称变换.
定理 n维欧氏空间V上的一个线性变换A 是对称变换的充分必要条件为:A在任何 （某）一组标准正交基下的矩阵都是 对称矩阵.
定理 设A是n维欧氏空间V的一个线性变 换。则下面几个命题相互等价：
(1) A是正交变换;
(2) A保持向量的长度不变, 即 V,
有 A = ;
(3) A保持向量间的距离不变, 即
， V,有 A()- A() =- ;
(4)若1,2,…,n是标准正交基,则A1, A2,…,An也是标准正交基;
(5) A在任一组标准正交基下的矩阵是正 交矩阵.
注: (1)因为正交矩阵可逆,故正交变换也 可逆.
定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量,则一定存在
一个正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
称A为基1, 2, …, n的度量矩阵．
度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵
（2）设A为基1，n的度量矩阵。 若=x11++xnn, =y11++ynn,
则
(, )=XTAY,
其中X,Y为,的坐标列向量。
（3）度量矩阵是正定矩阵. 因为 关于X0,
(,)= XTAX>0.
（4）不同基的度量矩阵是合同的。 （5）每一个n阶正定矩阵都可作为Rn中 某个基的度量矩阵（见习题1）。
定理 设1,2, …,n与1,2,…,n
是欧氏空间V中两组基, 由基
1,2, …,n到基1,2,…,n的过渡矩 阵是C。若 1,2, …,n是标准正交
基， 则C是正交矩阵, 当且仅当
1,2,…,n是标准正交基。
§4 正交变换，对称变换
一. 定义
定义 若A是欧氏空间V的线性变换, 如 果它保持向量的内积不变, 即
坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T 则
(1) xi = (, i )
i=1,2,…,n
(2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基.
(1)(, )=(, ); (2)(+, )= (, ) + (, ); (3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0当且仅当=0.
其中, , 都是V中向量, k为任意实数. 则称(, )为向量与的内积 ．
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间．
例1 在线性空间Rn中，对于向量
定理 如果子空间V1,V2,…,VS两两正交, 那么和V1+V2+…+VS是直和.
定义 子空间V2称为子空间V1的正交补, 如果V1V2,并且V1+V2=V.
注 正交补的概念是相互的.
定理 n维欧氏空间V的每一个子空间 V1都有唯一的正交补.
注 V1 的唯一正交补记作V1.显然有 dimV1 + dimV1 = dimV =n.
推论 V1恰由与V1 正交的向量组成, 即
V1 = {VV1}.
内射影 设
V= V1V1
则关于V,
=1+2, 其中1V1, 2V1, 就称1为向量在子
空间V1上的内射影.
§5 实对称矩阵的标准形
定理 实对称矩阵A的特征值都是实数。
引理 设A是对称变换(A是对称矩阵), 则属于A（A)的不同特征值的特征向量必 正交.
则称A为正交矩阵 (orthogonal matrix)．
正交矩阵性质
定理 设A, B都是n阶正交矩阵， 则
(1) A= 1; (2) A可逆, 且A－1 = AT; (3) AT(即A－1 )也是正交矩阵; (4) AB也是正交矩阵.