个性化教学辅导教案学生姓名年 级 八年级学 科 数学 上课时间 2018年 月 日 教师姓名课 题等腰三角形与直角三角形教学目标1．掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的判定和性质，能够根据其判定和性质进行证明；2．清楚证明直角三角形全等的条件；3．能够利用等腰、等边三角形的判定和性质解决实际问题.教学过程 教师活动学生活动1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A B 、是格点，若C 也是格点，且ABC △为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角为（ ）A.B.或C.3.如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．若2BC =，则DE DF +=_____________．F E CDBA4.如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC＝90º，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①图中只有2对全等三角形，②AE=CF；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF=S△ABC；⑤EF的最小值为．上述结论始终正确的有（）A. 2B. 3C. 4D. 55.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接DE，DF⊥AB于F．求证：(1)∠B=∠EDC(2)∠BDF=∠ADE．精讲1 等腰三角形的性质与判定学习目标：能证明等腰三角形的性质定理与判定定理，并能够根据性质定理解决实际问题.目标分解：掌握等腰三角形的性质定理与性质推论；理解等腰三角形判定定理，并能够熟练应用.教学过程：【知识详解】1．等腰三角形的概念有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角．2．等腰三角形的性质（1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．（2）性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）．3．等腰三角形的其他性质（1）等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；（2）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）；（3）三边关系：设腰长为a，底边长为b，则；（4）三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则，∠B=∠C =．4、等腰三角形的判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形．考点一：等腰三角形的性质【例1】（1）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm（2）如图，若D为△ABC的边BC上一点，且AC=BC，AB=AD=CD，则∠BAC= ___ ．【例2】（1）已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE．求证：CG=EG．（2）已知如图，在△ABC中，AB=AC，①如图（1），若∠α=35°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β= ______ ；②如图（2），若∠α=46°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠β=_______；③如图（3），D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB=AC，AD=AE，则∠α和∠β之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由．考点二：等腰三角形的判定【例3】（1）如图，，在射线上截取，动点在射线上滑动，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有( )A．个B．个C．个D．个（2）如图，是一辆钢架，且，为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管……添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管____________根【例4】（1）如图，在中，AB=AC，P为内一点，且，，①求证：是等腰三角形；②连接，当时，求的度数.（2）如图，在中，，，平分，且交的延长线于点，求证（3）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．（4）在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒2个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：①求BC上的高；②当t为何值时，△ACP为等腰三角形？精讲2 等边三角形的性质与判定学习目标：能证明等边三角形的性质定理与判定定理，并能够根据性质定理解决实际问题.目标分解：1．掌握等边三角形的性质定理与性质推论；2．理解等边三角形判定定理，并能够熟练应用.教学过程：【知识详解】1．等边三角形的概念三边都相等的三角形叫等边三角形．2．等边三角形的性质（1）性质1：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．（2）性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）．3. 等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．考点三：等边三角形的性质【例5】（1）如图，是等边三角线，于，延长至，使得，则的度数为（）A．B．C．D．（2）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（）A．B．C．D．（3）已知：如图，点在一条直线上，且、都是等边三角形. 求证：①；②求的度数考点四：等边三角形的判定【例6】（1）如图：在中，，点在上，，，是延长线上一点，．试判断的形状，并证明你的结论．（2）如图，在等边三角形中，①若点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．②若点在直线上，点在直线上，且，的边长为1，，则的长为____________．精讲3 直角三角形的性质学习目标：能够证明直角三角形的性质，并能够根据直角三角形的性质解决实际问题.教学过程：【知识详解】一、直角三角形的性质：1．直角三角形的两个锐角互余；2．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；注意：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4．勾股定理：直角三角形两直角边，的平方和等于斜边的平方，即．5．其它性质：常用关系式：两直角边的积= 斜边与斜边上的高的积．考点五：直角三角形的性质【例7】（1）直角三角形的周长为，斜边长为，则其面积为（）A．B．C．D．（2）是斜边上的高，若，，则的长为（）．A．B．C．D．（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的点，那么△ADC′的面积是____．（4）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC =90°，则BC的长度为（）A．12 B．13 C．14 D．15【例8】（1）将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．B．C．D．（2）直角三角形中斜边上的中线长为，周长为，则三角形的面积为（）A．B．C．D．（3）如图，、分别是的高，为的中点，，,则的周长是（）A．B．C．D．（4）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，求长．精讲4 直角三角形全等的判定学习目标：清楚直角三角形与其他三角形的不同判断全等的方法，同时理解互逆命题以及互逆定理．教学过程：【知识详解】直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．考点六：直角三角形全等的判定【例9】（1）如图，中，，．若是经过点的直线，于，于．①如图⑴，当与线段没有公共点时，求证：；②图⑴中，线段、、有何关系？证明你的结论．③若将旋转至与线段相交于点，且，则线段、、有何关系？（写出结论，不必证明）（2）如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．1、如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（）A．B．C．D．2．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为__________. 3．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，若AC=CE=6，则CD的长为（）A．B．3C．6 D．65．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于E，OD=4cm，则PE=．6．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则BC的长度为__________．7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=4，BC=10，则△EFM的周长= _______ ．8．仔细阅读完成下面的推理说明如图，CD是△ABC的角平分线，ED=EC，∠ADE=40°，求∠ABC．解：∵CD是△ABC的角平分线（）∴∠ECD=∠（）又∵DE=DC（）∴△CDE是等腰三角形（）∴∠ECD=∠=∠（）∴DE∥BC（）∴∠ABC=∠ADE=40°（）9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．【查漏补缺】1、如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62、如图所示，在△ABC中，AB =AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF．3、如图，为等边三角形，点在的延长线上，点在边上，且．若的边长为，，则的长为（）A．B．C．D．4、如图，中，，若于，于，分别为的中点，若，则的长为_____________5、如图，在等腰直角三角形中，，在BC上截取，作的平分线与相交于点P，连结PC，若的面积为，则的面积为（）A．B．C．D．6、已知：如图，为等腰直角三角形，是直角边的中点，在上，且．求证：【举一反三】1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）2、图①、图②、图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1.请在图①、图②、图③中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方各纸中的小正方形顶点重合.具体要求如下：⑴画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；⑵画一个面积为10的等腰直角三角形；⑶画一个边长为，面积为6的等腰三角形.3、如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接⑴和互相垂直吗？请说明理由⑵连接，试判断的形状，并说明理由【方法总结】1.全等三角形的证明思路2.注意：1.“HL” 是判定两个直角三角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形.2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，它们都是互为逆命题.3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方法来研究几何问题，体现了由数到形.1、如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_____度．2、如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∠B=20°，则∠A4=度．3、如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B 两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有个．4、操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．5、如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B 点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？（3）当t为何值时PQ∥BC？1、如图，过边长为1的等边△的边上一点，作⊥于，为延长线上一点，当时，连交于，则的长为（）A. B. C. D.不能确定2、如图，过边长为1的等边△的边上一点，作⊥于，为延长线上一点，当时，连交于，则的长为（）A. B. C. D.不能确定3、在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．4、如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转。