第十三专题 数形结合思想
考情动态分析：
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的.
一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法.
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果.
数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视.
数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越.
第一课时 方程、函数中数形结合问题
一、考点核心整合
利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷.
二、典例精讲：
例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个
C 、3个
D 、无穷多个
例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2
-=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1-
B 、有最大值727-，无最小值
C 、有最大值，无最小值
D 、无最大值，也无最小值
例3 已知0>x ，设:P 函数x
c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围.
例 4 已知0>a ，且方程022
=++b ax x 与方程022
=++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值.
三、提高训练：
（一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞
B 、)1,1(-
C 、),1[]1,(+∞--∞
D 、),1()1,(+∞--∞
2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3
sin(2π
有两个不同的实数解，则实数a 的
取值范围为（ ）
A 、]2,2[-
B 、]2,3[
C 、]2,3(
D 、)2,3(
3．已知)(2))(()(b a b x a x x f <---=，且βα、是方程0)(=x f 的两根)(βα<，则实数βα、、、b a 的大小关系为（ ）
A 、βα<<<b a
B 、b a <<<βα
C 、βα<<<b a
D 、b a <<<βα 4．方程2log ,2log 23=+=+x x x x 的根分别是βα、，那么α与β的大小关系是（ ） A 、βα>
B 、βα<
C 、βα=
D 、不确定
5．已知)1(log )(2+=x x f ，且0>>>c b a ，则
c c f 、
b b f 、a a f )
()()(的大小关系是（ ） A 、
c c f b b f a a f )
()()(>
> B 、a a f b b f c c f )()()(>
> C 、c
c f a a f b b f )()()(>
>
D 、b
b f
c c f a a f )()()(>
> （二）填空题：
6．
40cos 20cos 40sin 20sin --=_____________；
7．已知关于x 的方程m x x =+-5||42
有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围是
_____________________. （三）解答题：
8．设方程0sin cos 3=++a θθ在)2,0(π上有相异两解βα、. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求βα+的值.
9．已知012462
2
≤+--+b a b a ，求2
2
b a +的最值. 10．设R x ∈，求函数11)(22+-+++=
x x x x x ϕ的值域.
第二课时 不等式、解析几何中的数形结合
一、考点核心整合
数形结合的本质是：
几何图形的性质反映了数量关系； 数量关系决定了几何图形的性质；
数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助地形的几何直观来阐明数之间的某种关系.
把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，把形作为手段的数形结合主要体现在不等式、方程的根、函数的值域、距离、面积等之中.
本节的主要内容是：1、利用函数的性质解不等式问题；2、利用数形结合的方法求解析几何中的变量的取值范围问题.
二、典例精讲：
例1 使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是____________________.
例2 已知实数、y x 满足y x b x y m y y x +=++=
≥=+2,3
1),0(32
2.
求证：（Ⅰ）
6
21
3633+≤≤-m ； （Ⅱ）1532≤≤-b .
例3 已知向量)0,2(=OB ，向量)sin 2,cos 2(αα=OA ，求向量与向量夹
角的范围.
例4 解不等式813613622≤+++
+-x x x x .
三、提高训练：
（一）选择题：
1．设1
101
10,1101102002200120012000++=++=N M ，则M 与N 的大小 关系为（ ）
A 、N M >
B 、N M =
C 、N M <
D 、无法判断
2．如果实数、y x 满足不等式3)2(2
2=+-y x ，那么x
y 的最大值是（ ）
A 、2
1
B 、33
C 、23
D 、3
3．方程|2|)1(2)1(222++=-+-y x y x 表示的曲线是（ ） A 、抛物线
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、圆
4．已知点P 是抛物线x y 42
=上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线
0122=-+y x 的距离为2d ，则21d d +的最小值是（ ）
A 、5
B 、4
C 、55
11
D 、511
5．曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点时，实数k 的
取值范围是（ ） A 、]4
3,125(
B 、),12
5
(
+∞ C 、]4
3,31(
D 、)12
5,
0( （二）填空题：
6．不等式112->+x x 的解集是___________________.
7．当)2,1(∈x 时，x x a log )1(2
<-恒成立，则a 的取值范围是__________________.
（三）解答题：
8．已知R 、b a ∈，且01=++b a ，求证：18)3()2(2
2
≥-+-b a .
9．已知、y x 满足022
2
=-+y y x ，欲使不等式0≥++c y x 恒成立，求c 的取值范围.
10．设)(1)(2R x x x f ∈+=，对任意R 、b a ∈，且b a ≠， 证明：|||)()(|b a b f a f -<-.。