1 → → 那么PB＝ t －1，－4，PC＝(－1，t－4)，(确定坐标)
1 1 → → 故PB· PC＝ t －1，－4 · (－1， t－4)＝－ －4t＋17≤－2 t
1 · 4t＋17 t
＝13， 1 1 当且仅当 t ＝4t，即 t＝2时等号成立，故选 A.(计算作答)
1 → → → → 【方法运用】 已知AB⊥AC，|AB|＝ ，|AC|＝t，若 P 点是△ABC t → → AB 4 AC →＝ → ⊥BC → 的实数 t 的值 所在平面内一点B 为________．
【解析】
→ → 以 A 点为坐标原点，AB，AC的方向分别为 x 轴，y 轴
【解析】 因为(－2)2＜8×4，所以点 A(－2,4)在抛物线 x2＝8y 的 内部， 如图，设抛物线的准线为 l， 过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，过点 A 作 AB⊥l 于点 B，连接 AQ， 由抛物线的定义可知△APF 的周长为 |PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|， 当且仅当 P， B，A 三点共线时， △APF 的周长取得最小值， 即|AB| ＋|AF|.
【思路分析】
建立平面直 确定相应点、 → → 角坐标系 向量的坐标
根据数量积 结合基本不等 → 建立关系式 式计算并作答
【解题过程】
→ → 以 A 点为坐标原点，AB，AC的方向分别为 x 轴，
y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．(建系作图) 则有 → 4AC → 1 AB → A(0,0)，B t ，0，C(0，t)，由AP＝ ＋ 可知 → → |AB| |AC| P(1,4)，
【典例】 若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取值 范围是________． 【思路分析】 把函数零点问题 找到对应的函 → 转化为方程问题 数并作出图象
通过观察图象得 → 出正确的结论
【解题过程】
由 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，
可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，(等价转化) 从而可得函数 y＝|2x－2|的图象与函数 y＝b 的图象有两个交点， 如图所示．
【回顾反思】
在解答平面向量问题中，根据题目条件建立相应
的平面直角坐标系，利用平面向量的坐标，结合向量的坐标运算、 数量积公式等求解，具有很强的操作性，解答过程流畅，解题方 法巧妙．本题中通过巧妙建立坐标系，把平面向量的线性运算问 题转化为坐标运算问题，利用基本不等式来求解最值问题，思路 清晰，解法巧妙．
(作出图象) 结合函数的图象，可得 0＜b＜2，故填(0,2)．(得出结论)
【回顾反思】 已知函数有零点(方程有根)， 求参数取值范围常用 的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离， 转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变 形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合 求解．
【思路分析】
利用两点之间线段 → 最短进行求解
【解题过程】
(画出图形) 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x＝－1.
由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F 的 距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(－ 1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小．(数形求解) 显然， 连接 AF 与抛物线相交所得的点即为满足题意的点， 此时最 小值为|AF|＝ [1－－1]2＋0－12＝ 5.(得出结论)
1 A(0,0)，B t ，0，C(0，t)，
的正方向建立平面直角坐标系，则有
→ 4AC → 1 → AB → → → 由AP＝ ＋ 可知 P(1,4)，则AP＝(1,4)，又BC＝－ t ，t，AP → | |AC →| |AB
1 1 1 → → → － ，t＝－ ＋4t＝0， ⊥BC， 所以AP· BC＝(1,4)· 解得 t＝2(负值舍 t t
【回顾反思】
破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注
意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以 分析与研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是 通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为 二元二次方程组的解的问题进行讨论．
【方法运用】 已知抛物线的方程为 x2＝8y， F 是其焦点， 点 A(－ 2,4)，在此抛物线上求一点 P，使△APF 的周长最小，此时点 P 的 坐标为________．
1 去)，故填 . 2
方法 3 圆锥曲线的数形结合 【典例】 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，则点 P 到点 A(－ 1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值为________． 利用抛物线定义将 由y2＝4x知其 点P到直线x＝－1 → 准线是x＝－1 的距离转化为点 P到焦点的距离
【方法运用】
若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有且仅有一个零点，则实
数 b 的取值范围是________．
【解析】
由 f(x)＝|2x－2|－b 有且仅有一个零点，可得|2x－2|＝b
只有一个根，从而可得函数 y＝|2x－2|的图象与函数 y＝b 的图象 只有一个交点，结合函数的图象，如图，可得 b＝0 或 b≥2，故填 {0}∪[2，＋∞)．
高考数学数形结合思想
思想诠释 数形结合思想：是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思 想．其应用包括以下两个方面： (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够 变抽象思维为形象思维． (2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
应用示例 方法 1 函数与其图象的数形结合
方法 2 平面向量的数形结合 1 → → → → 【典例】 已知AB⊥AC，|AB|＝ t ，|AC|＝t，若 P 点是△ABC 所 → 4AC → AB →＝ →· → 的最大值等于( 在平面内一点，且AP ＋ ，则PB PC → | |AC →| |AB A．13 C．19 B．15 D．21 )