C(-1,1,0)，D(-1,-1,0)．
空间中点的对称问题
【变形训练】
4、如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上， 点Q在正方体的棱CD上． (1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时， 探究|PQ|的最小值； (2)当点Q为棱CD的中点， 点P在对角线AB上运动时， 探究|PQ|的最小值.
＝3x2－3ax＋ 5
2 a2＝3(x－a)2 ＋a 2.
当x＝ a
4
2
时，|PQ|最小为
2
P( a
,
a2
,
a
) 为AB的中点．2
2 a ，此时
222
3
2
B．(2,2，3 ) D．(2,2，4 )
3
解析：∵|EB|＝2|EB1|， ∴ 又|EE在B|B＝1B23 上，，|B∴B1E|＝的43 坐. 标为(2,2，43 ).
答案：D.
空间中点的对称问题
【典型例题】
4、已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)两点
，当|AB|取最小值时，x的值为(
A．19 C. 8
7
) B． 8 D. 1 97
14
解析：|AB|＝ (x1)2(5xx2)2(2x12x)2
14(x8)235. 7 49
8
∴当x＝ 7 时，|AB|取得最小值． 答案：C
空间中点的对称问题
【变形训练】
1、已知A(－1,2,7)，B(－3,－10,－9)，则线段AB 中点关于原点对称的点的坐标是________．
当z＝ a
时，|PQ|的最小值为
2 a.
2
2
即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值 2 a .
2
空间中点的对称问题
【变形训练】
(2)当Q为CD的中点时Q(0，a，a )，设P的坐标
2 为(x，y，z)，则由三角形相似可得
z

2a
2x
a
2a
则z＝a－x.
∴|PQ|2＝x2＋(x－a)2＋( a －x)2
知识点——
空间中点的对称问题
空间中点的对称问题
【公式】 1、已知两点的中点坐标： 平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设
Ａ（ x1，y1， z1），Ｂ（ x2，y2， z2），
则AB中点的坐标为
(x1x2, y1y2,z1z2) 2 22
2、一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点
点P（x，y，ｚ）关于坐标原点的对称点为
P1（-x，-y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为
P2 (x，-y，-z)； 点P（x，y，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为
P3(-x，y，-z)
空间中点的对称问题
【公式】
点P（x，y，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点
为
P4（-x，-y，z）；
点P（x，y，ｚ）关于xOy坐标平面的对称点为
解析：线段AB的中点为M(－2,－4,－1)， 则M关于原点对称的点的坐标为M′(2,4,1)． 答案：(2,4,1)
空间中点的对称问题
【变形训练】
2、已知A(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在y轴上且 |PA|＝|PB|，则P点坐标为________.
解析：设P(0,y,0)，∵|PA|＝|PB|， ∴ 1(1y)2 13 2 (3y)23 2 ∴y＝6. ∴P点坐标为(0,6,0)． 答案：(0,6,0)
P5（x，y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于yOz坐标平面的对称点为
P6（-x，y，z）; 点P（x，y，ｚ）关于zOx坐标平面的对称点为
P7（x，-y，z）. 点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余
的相反．如关于横轴（ｘ轴）的对称点，横坐标
不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于
xOy坐标平面的对称点，横坐标纵坐标不变，竖
解析：关于谁对称，谁的坐标不变，其它是相反数， ∴A(－3,1,－4)关于x轴对称的点为(－3,－1,4)． 答案：B
空间中点的对称问题
【典型例题】
3、如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长
为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的
坐标为( )
A．(2,2,1) C．(2,2, 1 )
空间中点的对称问题
【变形训练】
解：设正方体的棱长为a.
(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是

a 2
,
a 2
,
a 2

.
∵点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．
∴|PQ|＝ (a 2)2 a 2a 2 za 2 2 za 2 21 2a2
空间中点的对称问题
【变形训练】
3、V－ABCD为正四棱锥O为底面中心，若AB＝2， VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标.
解：以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间 直角坐标系． ∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵 坐标都是0， ∴点V的坐标是(0,0,3)． 而A、B、C、D都在xOy平面上， ∴它们的z坐标都是0，又|AB|＝2， ∴A(1,-1,0)，B(1,1,0)，
坐标变为原来的相反数．
空间中点的对称问题
【典型例题】
1、点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．yOz平面上
解析：∵点(2,0,3)中y轴上坐标为0， ∴点在平面xOz上． 答案：C
空间中点的对称问题
【典型例题】
2、已知空间直角坐标系中一点A(－3,1,－4)，则 点A关于x轴对称点的坐标为( ) A．(－3,4,－1) B．(－3,－1,4) C．(3,1,4) D．(3,－1,－4)