2 (y2 y2 z2)
(
G) e x
G2u
Fx
0
(
G) e y
G2v
Fy
0
(
G) e z
G2w
Fz
0
(8 1)
如物体内质点处于运动状态，式(8-1)也可写为
式(8-2) (用位移表示的）平衡(运动)微分方程的展开式为
(
G) e x
G2u )
(
G) e y
在一般求解边值问题时，按照未知量的不同有位移法与应力法，下面分别来
进行讨论。
一、位移法
ij 1 2(uij uij)
(42)
i j ( 1 ) E ( 1 2 )i j e ( 1 E )i ji je 2 G i j ( 4 6 )
x e 2G x
y
e
2G
y
z e 2 G z
w xlz)
Fy
ely
G( vxlx
yvly
vzlz)G( u ylx
yvly
w ylz)
(86)
Fx elz G(w xlx w yly w zlz)G( u zlx vzly w zlz)
由此，用位移法解弹性力学问题归结为按给定边界条件积分Lame方程。
解例求体8:以-1内设xy的为有位边半移界空和面间应，无力取限。z体轴，垂容直重向为下p。，(((在 GGG上))) 边xyezee 界GGG上222uwv 受FFFxyz均000布((( 压2t2t2tuv22w2))力)
u v w e x y z
x e 2 G x 2 u 2 G ( y 2 u 2 x 2 v y ) G ( z 2 v 2 x 2 w z ) F x 0
x e G x e G ( y 2 y 2 z 2 )u F x 0
同理，并采用Laplac算符
v y
z
e
2G
w z
xy
G
(u y
v ) x
(a )
x
x
y y
xy z
Fx
0
yx x
y y
yz z
Fy
0
zx
x
zy y
z z
Fz
0
yz
G
(v z
w y
)
ijj Fi 0(2tu2i )
（4-1）
zx
G
(u z
w x
)
再将式(a)对j取导后再代人式(4-1)得
xy
G
xy
(4 6)
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
(4 2 )
yz
G
yz
z x G z x
yz
v z
w y
zx
u z
w x
若以位移为基本未知量，必须将泛定方程改用位移 u i 来表示。现在来进行
推导：将式(4-2)代人式(4-6)得
x
e
2G
u x
y
e
2G
因为 Fx Fy 0 只 与 z 有 关 。 又 Fz q
(86)
其第三式为
将式(3)代入式(4)得
，再代回式(3)，得
为了确定常数B，可以将无限的边界条件转化为有限的，即假定半空间体在距
平面边界h足够远处已经很小而可以忽略，即
，则由式(5)得
于是，式(3)给出的位移为
E
G E
(1)(12) 2(1 )
G2v
Fy
0(
2v t2 )
(
G) e z
G2w
Fz
0(
2w t2 )
(8 3)
当体力不计时，有
上述式(8-3)或式(8-4)称为Lame(拉梅）方程(或Lame-Navier（纳维 叶）方程)。式(8-1)、式(8-2)和式 (8-3)的推导过程是平衡方程、几 何方程及本构方程的综合，因此以位移形式表示的平衡(运动)微分 方程是弹性力学问题位移解法的基本方程。Lame方程在弹性波动
第八章 弹性力学问题一 般解·空间轴对称问题
§8-1 弹性力学问题的一般解
前面重点讨论了弹塑性力学的平面问题。关于梁的弯曲问题由于空间维度的 简化，作为平面应力问题在材料力学中比较成功地得到了解决，我们只是在 平面问题中进行了检验。
现在我们将对一般空间弹性力学问题的解法给予理论分析，并举出解法实例。
力学问题中是极为重要的理论基础。
所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 u i u i，则可直接进行计算。
如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件，ijlj Fi 就要将应力
形式的边界条件转换成为位移形式。
其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如
下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得
E
E
i j ( 1 ) ( 1 2 )i j e ( 1 )i ji je 2 G i j ( 4 6 )
ij 1 2(uij uij)
(42)
(式中
为函数 u i 沿物体表面法线n的方向导数)，其展开式为
Fx
elx
G( u xlx
u yly
u zlz)G( u xlx
vxly
边界条件式(8-6)前两式自然满足，
Fx
elx
G( u xlx
u yly
u zlz)G( u xlx
xvly
w xlz)
Fy
ely
G( vxlx
yvly
vzlz)G( u ylx
yvly
w ylz)
Fz
elz
w G(xlx
w yly
w
u
z
lz)G(zlx
v zly
w
z
lz)
q，
(8 3)
体力分量 FxFy0,Fzp
面力分量在z=0处, Fx Fy 0 Fz q 如图8-1所示。
采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设
于是
而
因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出
式中A、B为积分常数。 边界上 lx ly 0 lz 1
将 2G换成 , E 来表示，则位移解答为
显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知
将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答
x y 1 ( q p z ) ,z ( q p z ) ,x y y z z x 0 ( 8 9 )
二、应力法 以应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示。应 力方程可由应变协调方程(4-4)和平衡微分方程(4-1)，用应力应 变关系就可得到用应力表示的应变协调方程。不过也可从位移 方程，即已求得的Lame方程式(8-1)出发来推导： 第一步，先将Lame方程转变为三个正应力和的关系式，供以下 推证使用。将式(3-27)和式(3-28)代人式(8-1)得