(1 )(1 2) 1 1
1
0
0
0
0
1 2 2(1 )
7
轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)
轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；
节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；
单元边界是一回转面；
应变分量 中出现了 ur r ，即应变不是常量；
且应变矩阵在r→0时，存在奇异点，需特殊处
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，
为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , zc代替 B 矩阵中的变
量 。r, z
rc
1 3
(ri
rj
rm )
zc
1 3
(
zi
zj
zm )
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元
用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。
uj wj
N
q
um
wm
单元应变：
将单元位移函数代入几何方程得：
u r
1 2A (biuiBiblioteka bju jbmum )
u r
1 2A
(
fi
ui
f
ju j
f mum )
11
其中，
fs
as r
bs
cs zs r
(s i, j, m)
w z
1 2A
(ci
wi
cjwj
cmwm )
u z
1 2A (ciui
Fe
Fir
Fiz
＝
２A
15
9rc2
0
2ri2
rjrm
(3) 分布面力移置
(i，j，m)
设rz平面上单元ijm的ij边有线性分布的径向表面力，在节点i, j
的集度分别为 pi ， p j ，ij边的边长l。此时
有，pr pi Ni p j N j ，pz 0，于是节点i的等效节点载荷为
z
T zr
其中 r表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿 方向的 正应变，称为环向正应变或切向正应变； z表示沿ｚ方向的正应变，称
为轴向正应变； zr表示沿ｒ和ｚ方向的剪应变。
在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在
径向位移 u 和轴向位移 w ，两个位移分量表示为，
基本方程
A1
(bs A2cs
fs fs )
A1cs
A1cs
cs A2bs
(s i, j, m)
14
3.单元刚度矩阵 有了单元应力场和应变场，可以利用虚位移原理或最小势能原理建
立单元刚度矩阵
K e 2 BT DBrdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为
Ksp 2 BsT DBprdrdz (s, p i, j, m)
轴对称及空间问题有限元法
上海工程技术大学机械工程学院 工程力学部
1
第一节 轴对称问题有限元法 第二节 空间问题有限元法
2
§4-1 轴对称问题有限元法
一. 轴对称问题的定义
工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称 于某一固定轴(可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果)，其力学分
A1cs
A1cs
cs A2bs
(s i, j, m)
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为
简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , zc 代替 B 矩阵中的变量，将
单元中的r和z近似地当作常量，并且分别等于 rc , zc 。
r
rc
1 3
(ri
rj
rm )
z
单元、曲边六面体单元 、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基
本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 21
• 4结点四面体单元：是空间问题最简单的单元，也是常应变、常应 力单元，可以类似平面问题三结点三角形单元进行分析。
• 8结点长方体单元：可以类似平面四结点矩形单元进行分析。 • 8结点直边六面体单元：可以类似平面四结点任意四边形等参元分
c
ju j
cmum )
w r
1 2A (bi wi
bjwj
bmwm )
用几何矩阵表示单元的应变：
ε Bq B [Bi Bj Bm ]
bs 0
Bs
1 2A
fs 0
cs
0
cs bs
(s i, j, m)
由于
f
在是坐标
s
r、z
的函数，
分量在单元中不为常量，其它三
个应变分量在单元中仍为常量。几何矩阵B 不再是常数，轴对称三角形
zc
1 3
( zi
zj
zm )
13
fs
as rc
bs
cs zcs rc
(s i, j, m)
经过简化，就可以把各个单元近似地当作常应变单元。
bs 0
Bs
1 2A
fs 0
cs
0
cs bs
(s i, j, m)
bs fs
Ss
DBs
E(1 ) 2(1 )(1 2) A
A1bs
d u wT
z
P(r, z, )
1.平衡方程
r
r
zr
z
Xr
0
z
z
zr
r
zr
r
Xz
0
z wy
ru
x
5
2.几何方程
u
r
rzz
r u r w z u w z r
A
u w
A
N
q Bq
u
x
x
y
v y w
z xy yz zx
析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。
1.离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，因此轴 对称问题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋 转所得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。
2.应力和应变 对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为Z轴，
单元自重移置到节点i，j，m上的等效节点载荷为
Fi e
Fir
Fiz
０
－
A
６
3rc
ri
(i，j，m)
如果单元离开对称轴较远（ rc r ri rj rm ） 可认为将1/3的 自重移置到每个节点上。
18
➢若体积力为惯性离心力，则单位体积的力为
f
＝0
2r
单元离心力移置到节点i，j，m上的等效节点力
15
应变矩阵变成：
B Bi
Bj
Bm
其中：
bs
Bs
1 2A
as
rc
bs cs zc 0
0
0
(s i, j, m)
cs
单元刚度矩阵的近似表达式为： cs
bs
K e 2 rc BT DB
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为：
Ksp 2 rc BsT DBp
bsbp
fs f p A1(bs A1(csbp cs
aj bj cj
am bm
ui uj
cm um
4 5 6
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
wi wj
cm wm
1 其中：A 1 1
2
ri rj
zi zj
1 rm zm
ai rj zm zmrj
bi z j zm
ci rm rj
a j rm zi zirm
z u y v z
v x w y
x 0
0 y 0
0
y
0
x z
0
0
z
0
u
v
w
y
w x
u z
z
0
x6
2.物理方程
r
D
rzz
1
1 1
0
D
E(1 )
1
1
1
0
f p fsbp ) f p ) A2bscp
A2cs c p
fs
as r
bs
cs zs r
(s i, j, m)
A1(bscp cs c p
fscp ) A2csbp A2bsbp
16
4.总刚度矩阵集成
求出了每一个三角形单元的刚度矩阵后，按照平面问题介绍的总刚 矩阵的集成方法，就可以得到结构的总刚矩阵。
径向为r 轴，环向为θ轴。
z
对称面上任一点p只会在该对称面上发生位移，
P(r, z, )
即所有的应力、应变和位移只是z和r的函数，而
与坐标θ无关。那么轴对称问题就可转化为二维
平面问题来进行研究。但因与平面问题有区别，
zw y
常称二维半问题。
ru
3
x
b
a
y
z p
x
如图所示的受均布内压作用的长圆筒，通过z轴的一个纵截面就是对
bj zm zi
c j ri rm
am ri z j z jri
bm zi z j
cm rj ri
形函数：Ns
1 2A
(as
bsr
cs z)
(s i, j, m)
10
用矩阵表示的单元位移为：
ui
wi
d
u w
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
高斯消去法、 波前法等