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411圆的一般方程


二、讲解新课
将圆的标准方程( x a)2 ( y b)2 r 2的展开式为:
x2 y2 2ax 2by (a2 b2 r 2 ) 0
取 D 2a, E 2b, F a2 b2 r 2 得
x2 y2 Dx Ey F 0

再将上方程配方,得
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F ②
(3)当 D2 E2 4F 0 时,方程没有实数解,
因而它不表示任何图形
综上所述,方程 x2 y2 Dx Ey F 0
表示的曲线不一定是圆
只有当 D2 E2 4F 0时,它表示的曲线才是圆,
我们把形如 x2 y2 Dx Ey F 0
的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程比较,圆的标准方程 的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而 一般方 程突出了方程形式上的特点:
⑵与标准方程的互化
新疆 王新敞
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⑶用待定系数法求圆的方程 新疆 王新敞 学案
新疆 王新敞
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⑷求与圆有关的点的轨迹。
五、课后作业:
P124 A组 1, 2⑵, 6; B组 2
内长恒为6的动弦的中点轨迹。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动,求线段
AB的中点M的轨迹方程.
练习:求圆x-32 + y+42 =1关于直线
x+y=0对称的圆的方程.
四、小结:
⑴对方程 x2 y2 Dx Ey F 0
的讨论(什么时候可以表示圆)
x y (1)
和 的系数相同,且不等于0; 2
2
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(2)没有 xy这样的二次项
三、讲解范例
例1、求过三点O(0,0), M(1,1), N(4,2)
的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标
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练习:求圆 x2 y2 2x 4 y 1 0
的圆心坐标与半径大小.
例2、求圆 ( x 4)2 ( y 3)2 25
圆心在原点O的圆方程: x2 y2 r 2
过原点O的圆方程: x a2 y b2 a2 b2
与X轴相切的圆方程:
x a2 y b2 a2 r a
与y轴相切的圆方程:

x a2 y b2 b2 r b
半圆方程:
y 3 x 22 1; x 3 y 22 1;
2
2
4
不难看出,此方程与圆的标准方程的关系
(1)当 D2 E 2 4F 0 时,表示以( D , E )
为圆心, 1 D2 E 2 4F 为半径的圆; 2 2 2
(2)当 D2 E2 4F 0 时,方程只有实数解
x D, 2
y E 即只表示一个点 2( D , E )源自224.1.2圆的一般方程
一、复习引入:
1.圆的定义:平面内与一定点距离等于定长 的点的轨迹称为圆
2.建立圆的标准方程的步骤:建系设点;写点集;
列方程;化简方程
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3.圆的标准方程:( x a)2 ( y b)2 r 2
r 圆心为 C(a, b) ,半径为
4.圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径
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