的方程. 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、
弦心距、半径所构成的三角形解之. 【解析】法一：设圆的方程为： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将 P、Q 的坐标分别代入①得
学海无涯
4D − 2E + F = −20 D − 3E − F = 10
2
2
所以，点 M 的轨迹是以 ( 3 , 3) 为圆 22
心，半径长为 1 的圆.
y MB
A
O
x
归纳 总结
课堂练习：课堂练习 P130 第 1、2、3 题. 1．圆的一般方程的特征 2．与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹
教师和学生共同总结
课后 作业 布置作业：见习案 4.1 的第二课时
x2 + y2 – x + 3y + 11 = 0 4
D = –1，E =3，F = 11 . 4
D2 + E2 – 4F = –1＜0 ∴此方程不表示圆.
学海无涯
例 2 求过三点 A (0，0)，B (1，1)， 例 2 讲完后
C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半
学生讨论交流，归纳得出
径长和圆心坐标.
只有当 D2 + E2 – 4F＞0 时，它表 示的曲线才是圆，我们把形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的表示圆的方程称为圆 的一般方程.
例 1 判断下列二元二次方程是否 表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆 心及半径.
（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0 解析：（1）将原方程变为
学生独立完成
备选例题
例 1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.
（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；
（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；
（3）2x2 + 2y2 + 2ax – 2ay = 0 (a≠0).
【解析】（1）因为 D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，
解此方程组，可得：D= –8，E=6，
F=0 ∴所求圆的方程为：x2 + y2 – 8x +
6y = 0
r = 1 D2 + E2 − 4F = 5； 2
− D = 4, − F = −3 .
2
2
得圆心坐标为(4，–3).
或将 x2 + y2 – 8x + 6y = 0 左边配方
化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 =
25，从而求出圆的半径 r = 5，圆心坐标
为(4，–3).
例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标
是(4，3)，端点 A 在圆上(x + 1)2 + y2 = 4
运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
教师和学生一起分析解
解：设点 M 的坐标是(x，y)，点 A 的坐标是(x0，y0)由于点 B 的坐标是(4， 3)且 M 是线段 AB 中重点，所以
②
由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3 ，而圆 C 到 y 轴的距离为|a|.
r2 = a2 + (4 3)2 2
代入②并将两端平方，得 a2 – 5a + 5 = 0， 解得 a1 = 1，a2 = 5.
∴ r1 = 13, r2 = 37
故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y2 = 13 或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37. 【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和 y 轴的两个交点坐标，否 则计算要复杂得多. （2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直 角三角形解之，以简化运算. 例 3 已知方程 x2 + y2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t2)y + 16t4 + 9 = 0 表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径 r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是 D2 + E2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0
x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.
圆的一般方程的特点： 程的探究，
概念
取 D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 –
（1）①x2 和 y2 的系数相 使 学 生 亲
形成 r2 得 x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①
同，不等于 0.
身体会圆
让学生带着问题进行思考
设疑激趣 导入课题.
其它的解决方法呢？带着这个问题我
们来共同研究圆的方程的另一种形式
——圆的一般方程.
请同学们写出圆的标准方程：(x –
整个探索过程由学生完
通过
a)2 + (y – b)2 = r2，圆心(a，b)，半径 r. 成，教师只做引导，得出圆的 学 生 对 圆
把圆的标准方程展开，并整理： 一般方程后再启发学生归纳. 的 一 般 方
Dx + Ey + F = 0
F，代入标准方程或一般方程.
∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在
圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它
们的坐标代入上面的方程，可以得到关
于 D、E、F 的三元一次方程组：
F = 0 即 D + E + F + 2 = 0
4D + 2E + F + 20 = 0
故所求方程为：x2 + y2 – 2x – 12 = 0 或 x2 + y2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得 PQ 的中垂线方程为 x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心 C 在直线①上，故设其坐标为(a，a – 1)，
又圆 C 的半径 r =| CP |= (a − 4)2 + (a +1)2
所以 D2 + E2 – 4F＞0，
让学 生更进一 步（回顾） 体会知识 的形成、发 展、完善的 过程.
巩固深化
所以方程（3）表示圆，圆心为 (− a , a ) ，半径 r = 1 D2 + E2 − 4F = 2 | a | .
22
2
2
点评：也可以先将方程配方再判断.
例 2 已知一圆过 P (4，–2)、Q(–1，3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ，求圆
方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
通过对方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解
决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，
勇于探索.
（二）教学重点、难点
题思路，再由教师板书. 分析：如图点 A 运动引起
点 M 运动，而点 A 在已知圆
x
=
x0
+4 ,y
=
y0
+3
，①
上运动，点 A 的坐标满足方程
2
2
于是有 x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3
因为点 A 在圆(x + 1)2 + y2 = 4 上运
动，所以点 A 的坐标满足方程(x + 1)2 +
使用待定系数法的一般步骤：
分析：据已知条件，很难直接写出
1．根据题设，选择标准
圆的标准方程，而圆的一般方程则需确 方程或一般方程.
定三个系数，而条件恰给出三点坐标，
2．根据条件列出关于 a、
不妨试着先写出圆的一般方程.
b、r 或 D、E、F 的方程组；
解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 +
3．解出 a、b、r 或 D、E、
② ③
令 x = 0，由①，得 y2 + Ey + F = 0 ④
由已知|y1 – y2| = 4 3 ，其中 y1，y2 是方程④的两根. ∴(y1 – y2)2 = (y1 + y2) – 4y1y2 = E2 – 4F = 48 ⑤
解②③⑤联立成的方程组，得
D = −2 D=-10 E = 0 或 E=-8 F = −12 F=4
学生自己分析探求解决 途径：①用配方法将其变形化 成 圆 的 标 准 形 式 .② 运 用 圆 的 一般方程的判断方法求解.但 是，要注意对于（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0 来说，这里
x2 + y2 – x + 3y + 9 = 0 4
D = –1，E =3，F = 9 . 4
y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②
(x + 1)2 + y2 = 4.建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建 立点 M 的坐标满足的条件，求 出点 M 的轨迹方程.
把①代入②，得
(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，
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