dW Xdx Ydy Zdz gdz 质量力势函数
W gz Cຫໍສະໝຸດ 重力场中理想流体的伯努利方程
代入伯努利积分得
U 2 p gz const
2
或
U 2 p z const
2g g
重力场中的伯努利方程（能量方程）
U12 2g

p1
g

z1

U22 2g

w t

u
w x

v
w y

w
w z
伯努利积分
获得解析解需满足的条件： 理想流体 均质不可压缩流体 恒定流 质量力是有势力 沿流线积分
伯努利积分
理想流体：
r f

1
p

dur

dt
dr (dx,dy,dz)
dr•
f
1
dr• p

dr•
du

dt
伯努利积分
dr•
f
1
dr• p

dr•
du

dt
质量力有势：
dr•
f

Xdx
Ydy

Zdz

dW
恒定流： p 0
t
1

dr•
p

1


p x
dx

p y
dy

p z
dz

dp

均质不可压缩流体：
dp


d
p


流体的运动微分方程
理想流体的运动方程 实际流体的运动方程
理想流体的运动方程
z
p p dx x 2
dz p
a
C
dy y
dx
O
x
p p dx x 2
b
f (X ,Y,Z) a (ax , ay , az )
理想流体的运动方程
泰勒级数
f (x)
f
(
x0
)

f x

2u y 2

2u z2


Du Dt
Y

1

p y



2v x2

2v y 2

2v z2


Dv Dt
Z

1

p z


2w x2

2w y 2

2w z2


Dw Dt
实际流体的运动方程
实际流体运动的偏微分方程组
元流的水头损失 hw
元流中单位重力流体在过流断面1-1与 2-2之间的机械能损失。
元流的伯努利方程
U12 2g

p1
g

z1

U
2 2
X

1

p x


2u x2

2u y 2

2u z 2


u t
u
u x

v
u y

w
u z
Y

1

p y



2v x2

2v y 2

2v z 2


v t
u
v x

v
v y

u t

u
u x

v
u y

w
u z
Y

1

p y

v t

u
v x

v
v y

w
v z
Z

1

p z

w t

u
w x

v
w y

w
w z
X

1

p x

ax
实际流体的运动方程
X

1

p x

2u x2
伯努利积分
dr•
f
1
dr• p

dr•
du

dt
沿流线积分：恒定流中流线与迹线重合
dr u dt
dr•
du dt

udt
•
du dt

u•
du

d

u• 2
u

d

u2

v2 2

w2

伯努利积分
dr•
f
1
dr• p


w
v z
Z

1

p z



2w x2

2w y2

2w
z 2


w t

u
w x

v
w y

w
w z
Navier-Stokes方程
实际流体的运动方程
矢量形式（Navier-Stokes方程）
f
1
p
2u
Du


p2
g

z2
dA1 p1
Z1
dA2
p2 Z2
0
0
重力场中理想流体的伯努利方程
位置水头
z
位能
压强水头 测压管水头
p
g
z p
g
压能 势能
速度水头
U2
2g
动能
总水头
H0

U2 2g

p
g

z
机械能
U 2 p z const
2g g
能量守恒方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
(
x

x0
)



f
n ( x) n!
(
x

x0
)n
一阶近似
pa

p

p x
[( x

dx ) 2

x]

p

p x
dx 2
pb

p

p x
[( x

dx ) 2

x]

p

p x
dx 2
理想流体的运动方程
x方向表面力
Pa

padydz


p

p x
dx 2
dydz
dr•
du

dt
dW

d

p



d

u2

v2 2

w2


d

U2 2

d

U2 2


d
p



dW

0
伯努利积分 U 2 p W C 2
重力场中理想流体的伯努利方程
质量力只有重力 X 0 Y 0 Z g
pa

0
pb

u2 2g
得出：u
2g
pa pb


2gh
Δh pb/γ
b
a
pa/γ
迎 流
顺 流
孔孔
头部
接差压计
尾 柄
实际流体元流的伯努利方程
假设条件：
均质不可压缩流体
恒定流
dA1 1
质量力为重力
沿流线积分
U1 A1 V1 1
dA2 2
U2 A2 V2
2
元流的伯努利方程
dydz

Xdxdydz

a x dx dydz
X

1

p x

ax
理想流体的运动方程
同理，y、z方向上：
Y

1

p y

ay
Z

1

p z

az
矢量形式
f
1
p

a

静止流体
f
1
p

0

理想流体的运动方程
理想流体运动的偏微分方程组
X

1

p x
Pb

pbdydz


p

p x
dx 2
dydz
x方向质量力
Fx Xdxdydz
理想流体的运动方程
牛顿第二定律 F ma
对于流体微元来说，x方向上：
Pa Pb Fx axdxdydz

p

p x
dx 2
dydz


p

p x
dx 2
Dt
拉普拉斯算子：
2

2 x2

2 y 2

2 z2
元流的伯努利方程
理想流体运动的偏微分方程组

X


1

p x

u t

u
u x

v
u y

w
u z
Y

1

p y

v t

u
v x