对于方程右侧的动量变化率：只要知道两截面上的平均速度和流量就可以 计算出来。
2、外力和速度的方向问题。与坐标相同时为正，与坐标相反时为负。公 式右边的减号是固定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三 、动量方程式的应用（重点）
1、流体对管道的作用力问题 2、自由射流的冲击力问题
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密度为
V
vdV

A
v(v

dA)
这就是用欧拉方法表示的动量方程式，这个方程式既适用于控制体固定的情况， 也适用于控制体运动的情况。在运动时需将速度v换成相对速度，并在控制体 上加上虚构的惯性力。
动量方程式中，需注意
1. F 是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和，既包括控制体外
部流体及固体对控制体内流体的作用力（压力、摩擦力），也包括控制体
（I）部分通过A1面非 原质点系的流入动量
制体的总动量。
（II）部分通过A2 面流出的动量
对于控制体的全部控制面A：
末动量
初动量

F

d( mv)
dt

lim
t 0
1 t
{[
V
v dV ]t t

t A
v(v dA)
[
V
v dV ]t }

t


2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
F

d ( mv)
dt
由于各个质点速度不尽相同，似乎要计算质点系的动量变化 率采用拉格朗日法比较适宜，由于运动的复杂性，很困难。
质点系占据一定的空间，取这个空间为控制体，把拉 格朗日法表示的动量变化率改换成用欧拉法表示，这 样就容易求的作用在控制体内流体质点系上的外力。
Fs A v(v dA) A2 v2v2dA A1 v1v1dA
qv (v2 v1) qv (v2 v1)

F

t

V
vdV


A
v(v

dA)
为0
式中 为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数，取1
在三个坐标轴上的投影式为
F

d ( mv)
dt
fx

1

p x


[
2vx x 2

2vx y 2

2vx z 2
]

dvx dt
fy

1

p y


[
2vy x 2

2vy y 2

2vy z 2
]
dvy dt
fz

1

p z


[
2vz x 2

2vz y 2
本次课主要内容 动量方程式及其应用
一、动量方程能解决运动流体中的什么问题
很难得到
N-S方程根据牛顿
第二定律导出
F ma
把牛顿第二定律改写
N-S方程是微分形式，积分可以 得到流场中的压强、速度分布， 进而得到流体受力F。
Fdt mdv d(mv)
并用之于具有一定质量的流体质点系， 由于各个质点速度不尽相同，故质点系 的动量定理为
Fx qv (v2x v1x ) Fy qv (v2 y v1y ) Fz qv (v2z v1z )
(1)管壁对流体的作用力F;
(2)截面上流体的表面力p1A1,p2A2。
（3）控制体内流体的重力（重力经常可以忽略）
对（1）（2）（3）在坐标方向求合力即可
[ vdV]t
V
经过t，质点系运动到实线位置，这个质点系在t+t 瞬时的末动量为：
[ vdV]tt tA1 v(v dA) tA2 v(v dA) V
[ vdV]tt tA v(v dA)
V
原来质点系尚留在控制 体中的部分及新流入控
内流体的重力。
2.
t

V
vdV
控制体内流体动量对时间的变化率，当流动为定常时，此
项为零。是由于控制体内流体动量随时间变化而产生的一种力。
3. A v(v dA)
是单位时间内控制体流出、流入的净动量，即流出、流入
动量之差，是流出动量与流入动量不等而产生的力。
特例：常见的定常、不可压缩、一元流动时，方程式可以简化的很简单。 如图所示，把流线方向取为自然坐标s，取如图控制体，则总控制面上只有A1， A2上有动量流入流出，假设断面上平均速度为v1,v2,则在定常不可压缩情况下，
，流量为
q
的流体对弯管的作用力
v
FRx，FRy
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1
取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
弯管对控制体内流体的作用力 FRx和 FRy , 过流断面上外界流体对控制体内流体的作用力P1A1, P2 A2
Fx qv (v2x v1x ) Fy qv (v2 y v1y ) Fz qv (v2z v1z )
X方向： 表面力: p1A1 cos1 p2 A2 sin2 管壁对流体的作用力 FRx
则，X方向上流体所受合力为
p1A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx
X方向上流体速度合分量为
v2 sin2 v1 cos1
根据动量定理，得到 x方向的动量方程
对于y方向同样得到
取控制体的时候注意： 控制表面一部分与固体壁面重合，按照作用力与反作用力大小相等 方向相反的原则，也就求出了流体质点系对固体壁面的作用力。
二、用欧拉方法表示的动量方程式
在流场中，选择控制体（固定）如图中虚线所示,
一部分与固体边界重合,（为什么这么选？）
在某一瞬时t,控制体内包含的流体是我们要 讨论的质点系，设控制体内任一质点的速度 为v, 密度为。在t瞬时的初动量为：
Fx qv (v2x v1x ) Fy qv (v2 y v1y ) Fz qv (v2z v1z )
本书应用的公式
使用时要注意以下几点：
1、受力对象：动量方程式的受力对象是流体质点系。 F 是外界作用在流体上的力。如果实际问题要求流体 对固体的作用力，则相应的应加以负号。 对于遇到的问题：方程左边的外力一般只包括
p1A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin2 v1 cos1