x1 12.5, x2 26.25, f1 ( x) 4025 , f 2 ( x) 20750 , f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数 p
U ( X ) i f i ( X )
i 1
则多目标问题化为如下的单目标问题
maxU ( X ) i f i ( X )
i 1 p
f3 67 1 100 67
f4 50.5 100 1 25.75
f5 34 1 67 100
6 j 1 6
f6 50.5 1 100 1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),
U ( X 1 ) j a1 j 34 U ( X 2 ) j a 2 j 40.6
X ( x1 , x2 ,....,xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X)
有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
数学建模
主讲 薛长虹
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多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.
一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往 有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高 利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题. 。 又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目 标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则 来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些 准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问 题. 应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这 类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经 济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域 都有重要的应用价值。
j 1 6
故最优方案为选购A3型卡车
U ( X 3 ) j a3 j 57.925
j 1 6
U ( X 4 ) j a 4 j 40.27
j 1
U * maxU U ( X 3 ) 57.925
（6）分层序列法：
1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 f1 ( x),, f p ( x) 按其重要程度排序。 依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1 , f 2 ,, f p min f1 ( x ) 先求解 ( P1 ) * * S S x f ( x ) f s.t. x S f 1 1 1 得最优值 ，记 1 再解 ( P )min f 2 ( x) * * 2 S1 S x f ( x ) f f s . t . x S 2 2 2 1 得最优值 ， 2 依次进行，直到 min f p ( x) ( Pp ) * f p s.t. x S p 1 得最优值
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标 法、线性加权和法、字典序法、步骤法。
多目标规划问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。
U ( x) U ( f1 , f 2 ,..., f p )
并设
aij f i ( x j )
且各个方案的效用函数分别为
U ( x j ) U (a1 j , a2 j ,...,a pj )
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ordU( X ) (U ( X 1 ),U ( X 2 ),....,U ( X p ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。 在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。
s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 max f1 ( X ) 其余的目标满足一定的条件，即
g i ( X ) 0, i 1,2,...,n s.t.h j ( X ) 0, j 1,2,...,m f k ( X ) k , k 1,2,..., p 1
1 j p
也可以给每个
f j ( x)
配上权系数
aj
，即考虑：
1 j p
min U ( x) max (a j f j ( x))
多目标规划问题的求解
（4）主要目标法 在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程 度往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关 键的目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为 T optF ( X ) ( f ( X ), f ( X ),...., f ( X )) 1 2 p 非主要目标。
资源A单位消耗 资源B单位消耗 资源C单位消耗 单位产品的价格 单位产品的利润 单位产品的污染
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70x1 120x 2 max f 2 ( X ) 400x1 600x 2 max( f 3 ( X )) 3 x1 2 x 2 9 x1 4 x 2 240 4 x 5 x 200 1 2 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
400x1 600x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70x1 120x 2 用单纯形法求得其最优解为
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。 fij A1 A2 A3 f1 2.0 2.5 2.0 f2 1500 2700 2000 f3 4 3.6 4.2 f4 55 65 45 f5 一般 低 高 f6 高 一般 很高
A4
2.2
1800
4
50
很高
一般
首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。 先将定性指标定量化：
效益型指标
很低 低 1 3 很高 高一般 高 很高 5 7 9 一般 低 很低 成本型指标
可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性 灵敏性 一般 5 高 7 低 3 一般 5 高 7 很高 9 很高 9 一般 5
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
甲 9 4 3 400 70 3 乙 4 5 10 600 120 2 资源限量 240 200 300
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多目 标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个 目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优 选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或 多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排 序.