对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400 x1 600 x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
400 x1 600 x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70 x1 120 x 2 用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x 2 26.25, f1 ( x) 4025, f 2 ( x) 20750, f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X )) T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标
法、线性加权和法、字典序法、步骤法。
多目标规划问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。 f2
(2)理想点法:对每一个目标 给出一个目标理想值
即f j min f j ( x),
f j ( x)
f j ,
为多目标函数
则称 f

f , f ,, f
f ( x) f1 ( x), f 2 ( x),, f p ( x)

1
j
j 1,2,, p
T p
T
2
aij
其中：
99 ( f ij f j * *) f j * f j **
i
1
f j * max f ij
f j * * min f ij
i
变换后的指标值矩阵为：
aij A1 A2 A3 A4
则
f1 1 100 1 40.6
f2 1 100 42.25 25.75
f3 67 1 100 67
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。 fij A1 A2 A3 A4 f1 2.0 2.5 2.0 2.2 f2 1500 2700 2000 1800 f3 4 3.6 4.2 4 f4 55 65 45 50 f5 一般 低 高 很高 f6 高 一般 很高 一般
多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.
一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往 有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高 利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题. 。 又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目 标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则 来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些 准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问 题. 应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这 类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经 济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域 都有重要的应用价值。
多目标规划问题的求解
(1)线性加权法: 取
0 ai 1 (i 1,, p)
a1 a2 a p 1
对p个目标函数作线性加权化为单目标问题
min F ( x) a1 f1 ( x) a2 f 2 ( x) a p f p ( x)
多目标规划问题的求解
资源A单位消耗 资源B单位消耗 资源C单位消耗 单位产品的价格
单位产品的利润 单位产品的污染
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70 x1 120 x 2 max f 2 ( X ) 400 x1 600 x 2 max( f 3 ( X )) 3 x1 2 x 2 9 x1 4 x 2 240 4 x 5 x 200 1 2 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多目 标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个 目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优 选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标或 多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排 序.
三、多目标规划问题的求解
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼此 有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问 题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来越 受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为 求解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问 题,然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的 最优解,以此作为多目标问题的解.
1 2
5 3
4
6
7 8
f
二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。 在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。
首先对不同度量Leabharlann 位和不同数量级的指标值进行标准化处理。 先将定性指标定量化：
效益型指标
很低 低 1 3
一般 高 很高 5 7 9
很高 高
一般 低 很低
成本型指标
可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性 一般 5 低 3 高 7 很高 9
灵敏性
高 7
一般 5
很高 9
一般 5
按以下公式作无量纲的标准化处理
故最优方案为选购A3型卡车
U ( X 3 ) j a3 j 57.925
j 1 6
U ( X 4 ) j a 4 j 40.27
j 1
U * max U U ( X 3 ) 57.925
（6）分层序列法：
1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 f1 ( x),, f p ( x) 按其重要程度排序。 依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1 , f 2 ,, f p min f1 ( x) 先求解 ( P1 ) * * S x f ( x ) f s.t. x S 得最优值 f 1 1 S ，记 1 1 再解 ( P )min f 2 ( x) * * 2 S x f ( x ) f f s . t . x S S1 2 2 2 1 得最优值 ， 2 依次进行，直到 min f p ( x) * ( Pp ) f p s.t. x S p 1 得最优值
f4 50.5 100 1 25.75
f5 34 1 67 100
6 j 1 6
f6 50.5 1 100 1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),
U ( X 1 ) j a1 j 34 U ( X 2 ) j a 2 j 40.6
j 1 6
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数 p
U ( X ) i f i ( X )
i 1
则多目标问题化为如下的单目标问题
max U ( X ) i f i ( X )
i 1 p

值域中的一个理想点。 将多目标问题转化为目标函数
f ( x)
与 f

之间的最小“距离”的单目标问题：

min U ( x) f ( x) f
多目标规划问题的求解
(3)极大极小法：基本思想是在最不利的情况下求最 有利的策略。即求多目标中最大目标函数值最小。于 是可化为如下单目标问题：