第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、计算复数2(ii i-是虚数单位) A .12i + B .12i -+ C .12i -- D .12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A .1B .2C .0D .-13、由①上行的对角线互相垂直;②菱形的对角线互相垂直;③正方形是菱形,写出一个“三段论”形式的推理,则作为大前提、小前提和结论的分别为A .②①③B .③①②C .①②③D .②③① 4、设()ln f x x x =,若0(3)f x '=,则0x = A .2e B .e C .ln 22D .ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A .3-B .12C .3D .12- 6、若()sin cos f x x α=-,则()f α'等于A .sin αB .cos αC .sin cos αα+D .2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A .(,2)-∞B .(2,)+∞C .()1,4D .()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如图所示,则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A .极大值5,极小值-27B .极大值5,极小值-11C .极大值5,无极小值D .极小值-27,无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++,则()1f '=A .2B .3C .-1D .1第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上。
. 11、核黄素()sin 2f x x =,则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中,不等式1119A B C π++≥成立,在四边形ABCD 中,不等式1111162A B C D π+++≥成立;在五边形ABCDE 中,不等式11111253A B C D E π++++≥成立,猜想在n 边形12n A A A L 中,有 不等式成立。
14、把复数z 的共轭复数记作z ,已知(1)1i z i +=-,则z =15、函数322y x x x =-+-图象在于y 轴交点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为三、解答题:本大题共5小题,满分50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、(本小题满分10分) 当实数m 取何值时,在复平面内与复数22(4)(6)z m m m m i =-+--对应点满足下列条件? (1)在第四象限;(2)在直线30x y -+=上。
17、(本小题满分10分) 用数学归纳法证明21122221()n n n N -*++++=-∈L18、(本小题满分10分) 已知函数()323911f x x x x =--+(1)求函数()f x 的递减区间;(2)讨论函数()f x 的极大值或极小值,如有写出极值。
19、(本小题满分10分)设函数()322338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
(1)求,a b 的值;(2)对于任意的[]0,3x ∈,求()f x 的最值。
20、(本小题满分10分)已知2x =是函数()2(23)xf x x ax a e =+--的一个极值点( 2.718)e =L 。
(1)求实数a 的值;(2)求函数()f x 在3[,3]2x ∈的最大值和最小值。
四、附加题(共3道题,共30分) 21、(本小题满分10分) 用数学归纳法证明11125123124n n n +++>+++L 对任意正整数n 成立。
22、(本小题满分10分)已知二次函数()f x 满足:①在1x =时有极值;②图象过点(0,3)-,且在该点处的切线与直线20x y +=平行。
(1)求()f x 的解析式;(2)求函数()2()g x f x =的单调递增区间。
23、(本小题满分10分) 已知函数()1ln(1),01xf x ax x x-=++>+,其中0a >。
(1)若()f x 在1x =处取得极值,求a 的值; (2)求()f x 的单调区间。
高二数学(理)11. 2cos2x 12.5 13. )2(,)2-(n n 111221*∈>≥+++N n n A A A n 且πΛ 14.i15.2三.解答题16解:复数z =(m 2-4m )+(m 2-m -6)i ,对应点的坐标为Z (m 2-4m ,m 2-m -6). (Ⅰ)点Z 在第四象限,则⎩⎨⎧<<-><⎪⎩⎪⎨⎧<-->-3240,060422m m m m m m m 或解得 ∴-2<m <0. …………………………………………………………………………..5分(Ⅱ)点Z 在直线x -y +3=0上,则(m 2-4m )-(m 2-m -6)+3=0,即-3m +9=0,∴m =3. …………………………………………………………10分17. ①当n=1时,左边=1,右边=121-=1,等式成立。
…………………………...2分②假设当n=k 时,等式成立,即21122221k k -+++⋅⋅⋅=-……………………….4分则当n=k+1时,2111222221221k k k k k -++++⋅⋅⋅+=-+=-………………….8分 所以,当n=k+1时等式成立。
由此可知,对任何*n N ∈,等式都成立。
. ………………………………10分18. 解:令0)('=x f ,得11-=x ,31=x ………………………………………2分x 变化时,的符号变化情况及的增减性如下表所示:分 (Ⅰ)由表可得函数的递减区间为)3,1(- ……………………………..8分 (Ⅱ)由表可得,当1-=x 时,函数有极大值16)1(=-f ;当3=x 时,函数有极小值16)3(-=f . ……………………..10分19. 解:(Ⅰ)2()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值, 则有(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩,.解得3a =-,4b =.…………………………………………………………….4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++,2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--.0)(='xf 解得,2,1==x x ………….6分最小值为c f 8)0(=,最大值为c f 89)3(+=.…………………………………………10分 20解:(I )由2()(23)xf x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--………..4分 ∵2x =是函数()f x 的一个极值点,∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=,解得5a =- ……………..6分 (II )由0)1)(2()(>--='x e x x x f ,得)(x f 在)1,(-∞递增,在),2(+∞递增, 由0)(<'x f ,得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值; ………………….8分2347)23(e f =,3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =.…………………………………10分附加题1证明:(1)当1=n 时,左=24252426413121>=++,不等式成立………………………….2分(2)假设当n k =时,不等式成立,即11125123124k k k +++>+++L .……………4分 则当1n k =+时,有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++L 111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++L 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦. 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++, 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++, 所以112032343(1)k k k +->+++.………………………………………………………8分所以当1n k =+时不等式也成立.由(1)(2)知,对一切正整数n ,都有11125123124n n n +++>+++L , …………10分 2解:(Ⅰ)设f (x )=ax 2+bx +c ,则f (x )=2ax +b .由题设可得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02c b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a所以f (x )=x 2-2x -3.……………………………………………………………….4分(II ) g (x )=f (x 2)=x 4-2x 2-3,g (x )=4x 3-4x =4x (x -1)(x +1).列表:由表可得:函数g (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). ………………….10分3解: (Ⅰ)22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值,∴2'(1)0,120,f a a =+-=g即解得 1.a =………4分 (Ⅱ)222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上,∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,由22'()0,'()0,a af x x f x x a a-->><<解得由解得 ∴()),a af x a a+∞2-2-的单调减区间为(0,单调增区间为(,).……10分x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f (x ) - 0 + 0 - 0 + f (x ) ↘ ↗ ↘ ↗。