2020—2021学年度第一学期高二期中考试数学试题时间:120分钟分值:150分 命题老师:一、单项选择题( 本大题共8小题,每小题5分,共40分 ) 1.已知点A ()0,2,B ()3,3-,则直线AB 的倾斜角为( ) A . ︒30 B . ︒45 C. ︒120 D.︒1352.已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行,则a 的值是( ). A .0或1 B . 0或41 C. 1或41 D.41 3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可以近似地看成抛物线,该桥的高度为5m ,跨径为12m ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )m A.518 B.256 C.95 D.2654.已知双曲线的一条渐近线方程为x y 2=,且经过点)2,2(,则该双曲线的标准方程为( )A.2214x y -=B.2214y x -= C.2214y x -= D.2214x y -= 5.已知抛物线y x 42=内一点)1,1(P ,过点P 的直线l 交抛物线于B A ,两点,且点P 为弦AB 的中点,则直线l 的方程为( )A .032=-+y x B. 012=+-y x C . 012=+-y x D. 02=-+y x6.已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2,直线)(3c x y --=与椭圆C 的一个交点为M (M 在第一象限)满足21122F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率为( )宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中南漳一中A .22 B . 12- C . 13- D .23 7.我国东南沿海一台风中心从A 地以每小时10km 的速度向东北方向移动,离台风中心15km 内的地区为危险地区,若城市B 在A 地正北20km 处,则B 城市处于危险区内的时间为( )小时 A.0.5B.1C.1.5D.28.已知221134120,x y +-=22280x y +-=,记()()221212M x x y y =-+-,则M 的最小值为( ) A.532 B.54 C. 512 D. 516二、多项选择题 ( 本大题共4小题,每题5分,共20分 ,在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.关于双曲线1C :12322=-y x 与双曲线2C :13222=-x y ,下列说法正确的是( )A.它们有相同的渐近线B.它们有相同的顶点C.它们的离心率相等D.它们的焦距相等 10.下列说法中正确的是( )A.直线012=+-y x 与直线032=--y x 垂直.B.直线0332)1(=+-++m y x m 恒过定点)3,3(-.C.点)0,1(关于直线02=-+y x 的对称点为)1,2(D.圆422=+y x 上有且仅有3个点到直线02=+-y x 的距离等于1.11.经过椭圆）（012222>>=+b a by a x 右焦点F 且倾斜角为 60的直线交椭圆于Q P ,两点,若Q P 、两点在y 轴右侧,则椭圆的离心率取值可以为( )A. 31B. 23C. 21D.3312.在平面上有相异两点A,B,设点P 在同一平面上且满足PB PA λ=(其中,0>λ且1≠λ),则点P 的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设)0,(),0,(a B a A -,a 为正实数,下列说法正确的是( )A.当2=λ时,此阿波罗尼斯圆的半径a r 34=; B.当21=λ时,以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切; C.当10<<λ时,点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧;D.当1>λ时,点A 在阿波罗尼斯圆外,点B 在圆内.三、填空题(共4小题,每小题5分).13.两平行线0342:012:21=++=-+y x l y x l 与之间的距离为_________.14. 已知双曲线1522=-y m x 的焦距为8,则实数m 的值为________. 15. 点M 为抛物线x y 82=上的一点且在x 轴的上方,F 为抛物线的焦点,以Fx 为始边,FM 为终边的角︒=∠60xFM ,则=FM ________.16. 已知圆C 的方程为,222=+y x 点P 是直线052=--y x 上的一个动点,过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB,A 、B 为切点,则四边形PACB 的面积的最小值为________;直线AB 过定点________.四、解答题(共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)已知点A(4,1),B(6,3),C(3,0)-. (1)求ABC ∆中AC 边上的高所在直线的方程; (2)求ABC ∆的面积.18.(本小题12分)在①圆经过)4,3(C ,②圆心在直线02=-+y x 上,③圆截y 轴所得弦长为8;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,进行求解.已知圆E 经过点A(1,2),B(6,3),-且____________; (1)求圆E 的方程;(2)已知直线l 经过点()2,2-,直线l 与圆E 相交所得的弦长为8,求直线l 的方程.19.(本小题12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23,且经过点)23,1(,21,F F 是椭圆的左、右焦点, (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆上,且221=-PF PF ,求21PF ⋅的值.20.(本小题12分)已知平面内点),0,(),0,4(x B A -以AB 为直径的圆过点),0(y C ; (1)求点),(y x P 的轨迹E 的方程;(2)过点)0,1(F 且倾斜角为锐角的直线l 交曲线E 于N M ,两点,且NF MF 2=,求直线l 的方程.21.(本小题12分)已知F 是抛物线C :22y px =(0)p >的焦点,()1,M t 是抛物线上一点,且3||2MF =. (1)求抛物线C 的方程;(2)已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点,若直线BF AF ,的倾斜角互补,则直线l 是否会过某个定点？若是,求出该定点坐标,若不是,说明理由.22. (本小题12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 过点E )332,1(,21,A A 为椭圆的左右顶点,且直线E A E A 21,的斜率的乘积为32-. (1) 求椭圆C 的方程;(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点,直线l 的垂直平分线交直线l 于点P,交直线2-=x 于点Q,求MNPQ 的最小值.2020—2021学年度第一学期高二期中考试数学试题参考答案宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中南漳一中二.多项选择题 三.填空题 13.25 14. 11 15. 8 16.,6 )54,52(- (第一空2分,第二空3分) 四.解答题 17.(1)14310=--=AC k , …………………2分所以AC 边上的高线的斜率1-=k , …………………3分又)3,6(-B ,由点斜式的方程可得AC 边上的高所在的直线方程为)6(3+-=-x y , 即03=++y x 。

…………………5分 (2)在ABC ∆中,AC 边所在的直线为03=--y x ,2=AC …………………7分点B 到此直线的距离262336=---=d , …………………9分626221=⋅⋅=∆ABC S …………………10分18.选条件①设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-0432503645025F E D F E D F E D …………………3分解得15,2,6-==-=F E D …………………5分 所以圆的方程为0152622=-+-+y x y x …………………6分 设圆心到直线的距离为d ,则弦长342582222=⇒=-⇒=-=d d d r L …………………8分当直线的斜率不存在时,35≠=d ,所以直线的斜率存在,设其方程为022),2(2=++-+=-k y kx x k y 即 …………………9分 3122132=++++=k k k d …………………10分解得815,0-==k k 所以所求直线的方程为0148152=++=y x y 或 …………………12分 (其他方法按同等步骤给分).19.(1)依题意有1431,2322=+=ba a c ………………2分 解得1,2==b a …………………4分则椭圆的方程为1422=+y x …………………5分(2)1,324212121==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+PF PF PF PF PF PF …………………8分 在21F PF ∆中,由余弦定理31cos 21-=∠PF F …………………10分1)31(1321-=-⋅⋅=⋅PF PF ………………12分20. (1)以AB 为直径的圆过点C,即 0),(),4(0=-⋅--⇒=⋅y x y BC AC ………………3分整理得:x y 42=,即点),(y x P 的轨迹方程为x y 42=; ………………5分 （2）设直线l 的方程为1+=my x ,),(),,(2211y x N y x M与抛物线联立得:⎩⎨⎧=+=xy my x 412 消去x 得到0442=--my ym y y 421=+ ①421-=y y ② ………………7分又NF MF 2=,转化得212y y -= ③ ………………9分 由①②③ 及0>m 得42=m ………………11分 所以直线l 的方程为2222-=x y ………………12分21.(1)根据抛物线的定义,12321=⇒=+=p p MF ………………2分 抛物线的方程为x y 22= ………………4分 (2)设直线l 的方程为m kx y +=,设),(),,(2211y x B y x A ,直线l 与抛物线的方程联立得0)22(22222=+-+⇒⎩⎨⎧=+=m x km x k xy mkx y kmy y k y y k m x x k km x x 2,2,2221212221221==+=-=+ ………………6分 又02121,02211=--+--=+x y x y k k BF AF 即………………7分 0)(21)(2,0)(21212121211221=+-++=+-+y y x x m x kx y y y x y x ………………9分即01222222=--⋅+⋅kk km m k m k 整理得:m k 2=, ………………10分 所以直线的方程为)12(+=x m y ………………11分 即直线经过定点)0,21(-。