• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y (K, L) 边际产品为正但递减
Y K
2Y 0, K 2
0
Y L
0,
2Y L2
0
一次齐次（规模报酬不变）性
Y (K,L) Y (K, L)
人均项目表示为
y (k)
净投资：
K I K S K sY K
同除 L可得
K / L sy k s(k) k
yk a
该非齐次方程的通解为 y(x) y y(0)eax
定义
• y(x) y，y 收敛于y ，y 的时间路径是稳定的
在上例中，当且仅当 a 0时，y(x) y
• 伯努利方程
dy ay cym dx
m 其中a 和 c为常数或者 x 的函数， 为任意除0和1之外的
实数，两边同除 ym 可得
形式 P(D)y 0的通解则非齐次方程 P(D) y f (x) 的通解
为 y yc yp 。
第3节 一阶常系数线性微分方程
最简单形式
dy ay f (x) dx
定理 其非齐次方程的特解为
y(x) eax x eas f (s)ds 0
特殊情形 dy ay k dx
其一个特解（潜在均衡点）为
dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
通解为
P
ab
P(t) P cegt
其中c为任意常数而g (b a)
当且仅当 g 0时P(t) P ，因 0条件即为b a
在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足
• 马歇尔供求函数：
PD
a
Q a
PS
b
Q b
动态调整过程：
dQ dt
•
•
待试特解
.
待试特解
f (x)
.
cax
ax
c1 sin bx c2 cos bx c0 c1x L cn xn
sin bx或者cosbx
而 那么 •即
K knL Lk
k s(k) (n )k
k (n )k s(k)
潜在均衡（稳态）处
k 0
稳态人均消费
c* (k*) (n )k* k *为 s 的函数，有
k* k* (s) dk* / ds 0
则
c*(s) (k*(s)) (n )k*(s)
Dn y a1Dn1 y L an1Dy an y f (x) 也可写作
P(D) y f (x)
线性算子性质： （i） P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2
（ii）P(D)(cy) cP(D) y
• 定理
令 y p为线性微分方程P(D) y f (x) 的特解而 yc 为相应齐次
第九章 连续时间：微分方程
第1节 定义
• 微分方程就是涉及导数的方程 dy x 5 dx
d2y dx2
3x
dy dx
2
y
0
2z x2
2z y 2
x2
y
• 偏微分方程，常微分方程
• n 阶线性常微分方程
dny dy n
a1
d n1 y dy n 1
L
an1
dy dy
an
y
f (x)
• 常系数微分方程 齐次形式
需求函数：PD PD (Q)
供给函数：PS PS (Q) 动态假设：数量会随着购买者愿意支付的价格与供给者愿 意接受价格之间的差异变化而变化
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
QD aP
QD bP
动态调整过程
dP dt
(QD
QS
)
0
代入可得
dP (a b)P ( )
1 dz 6z 7 2 dx
其解为
z
c1e12 x
7 6
原方程的解为
y
c1e12 x
7 6
1/ 2
第4节 利用一阶微分方程进行动态 经济分析
• 在供求模型背后的动态变化 瓦尔拉斯供求模型
需求函数： QD QD (P) 供给函数： QS QS (P)
动态假设：价格随着剩余需求的变化而变化 马歇尔供求模型
求最大化稳态消费水平的储蓄水平
• 稳态
dc* dc* dk* ((k*) (n )) dk*
ds dk* ds
ds
令其等于零，可得
(k*) (n )
资本积累的黄金律水平
第5节 二阶线性常系数微分方程
d2y dx2
p
dy dx
qy
f
(x)
• 齐次方程的通解
定理
令y1, y2为如下齐次方程的特解
ym dy ay1m c dx
令
z y1m
从而
dz dz dy (1 m) ym dy
dx dy dx

dx
则微分方程可写为
•例
1 dz az c 1 m dx
同除 y3
dy 6 y 7 y3 dx
y3 dy 6 y2 7 dx
令 z y，2 从而 dz / dx 2 y3dy / dx ，则
P(D)
y
d2y dx2
p
dy dx
qy
0
其中 y1 不是 y2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2，
其中c1, c2 为任意常数
• 定义
• 辅助方程: m2 pm q 0
• 情形1：不等实根 定理
辅助方程根为不等实根m1和 m2，则该齐次方程的通解为 y c1em1x c2em2x
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)erx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)
• 非齐次方程的特解 待定系数法实质上是根据函数对特解进行有依据的猜测。
• 定理
n 阶线性常微分方程（线性或者非线性）的通解是 x的函
数 y ，其中刚好有个任意常数。
y y(x; c1,K , cn，) 其中 c1,K , cn 为任意常数
• 初始条件与特解
第2节 线性微分方程
求导数学算子D
线性算子 P(D) Dn a1Dn1 L an1D an
• 则一般 n 阶线性常微分方程可写作
PD
PS
代入可得
0
dQ dt
1 b
1 a
Q
b
a
一特解（潜在均衡点）：
通解为
Q a b
ab
Q(t) Q ceht
其中c 为任意常数而
h
1 b
1 a
当且仅当h 0 时Q(t) Q ，因 0 ，条件也即
11 ba
在通常情况下这一条件也满足
• 但在吉芬物品与正斜率供给曲线，或者后仰供给曲线与正 常物品相联系时，两动态假设冲突，一方认为价格和数量 时间路径稳定，而另一方认为其不稳定。