c c 2 4d (b )
m 两根都为负，时间路径收敛，若两根相等， 1 m2 c / d 都小于零，其时间路径也为收敛的。最后，如果为共轭复 数，其实数部分c / d 小于零， P 的时间路径同样为收敛 的，尽管此时带有不断衰减的循环。
第7节 高阶线性微分方程
• 高阶微分方程
Y 2Y 0, 2 0 K K
Y 2Y 0, 2 0 L L
一次齐次（规模报酬不变）性
Y ( K , L) Y ( K , L)
人均项目表示为
y (k )
净投资：
K I K S K sY K
同除 L 可得
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
动态调整过程 dP (QD QS ) dt 代入可得
QD aP QD bP
0
dP (a b) P ( ) dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
P

• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r ，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)e
rx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)t
其中 为任意常数而g (b a) 当且仅当 g 0时 P(t ) P ，因 0 条件即为b a 在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足 • 马歇尔供求函数： Q
c
PD
a Q PS b b
a

其中 y1 不是 y 2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2 ， 其中 c1 , c2 为任意常数 • 定义 m2 pm q 0 • 辅助方程:
• 情形1：不等实根 定理 辅助方程根为不等实根m1和 m2，则该齐次方程的通解为
y c1e
m1 x
c2e
m2 x
• 特殊情形
d2y dy p q k 2 dx dx
特解（潜在均衡点）
k y q
p 2 4q 情形1：
不等实根， y y c1e m1x c2e m2 x 当且仅当两根都小于零时， y 收敛于 y ，时间路径稳定， 否则爆炸式，无循环和波动 p 2 4q 情形2： 相等实根，
K / L sy k s (k ) k
而 那么 • 即
K knL Lk
k s (k ) (n )k
k (n )k s (k )
潜在均衡（稳态）处
k 0
稳态人均消费
c* (k * ) (n )k *
d2y dy 2 y e x 3x dx 2 dx
辅助方程为
m2 2m 1 0
重根 m1 m2 1
，通解为
y (c1 c2 x)e x x 对于右边的xe x ，先尝试特解 y ce ，已出现在通解中， y cxe 也出现在通解中，尝试 y cx 2e x 而
y y eax (c1 cos bx c2 sin bx)
第6节 经济学应用：动态供求模型
QD a bP cP dP
a 0, b 0
0, 0
QS P
供求相等可得
dP cP (b ) P a
P
m1 m2 p / 2 r
通解为
y y c1e c2 xe
rx
rx
当且仅当r 0 ，y 收敛于 y ，否则时间路径发散，都无 循环 2 情形3： p 4q m m 共轭复根， 1 a bi ， 2 a bi ，通解为
存在循环，若 a 0 ，逐渐衰减的循环收敛于 y ，若 a 0 不变振荡的循环而不收敛，若 a 0 ，则不断扩 张的循环而发散。
• 非齐次方程的特解 待定系数法实质上是根据函数对特解进行有依据的猜测。 •
• 待试特解
待试特解
f ( x)
. .
ca
x
a
x
c1 sin bx c2 cos bx
sin bx或者cosbx
a0 a1 x an x n
a x sin bx 或者a x cos bx
c0 c1 x cn x
1 dz 6z 7 2 dx
其解为
z c1e
原方程的解为
12 x
7 6
12 x 7 y c1e 6
1/ 2
第4节 利用一阶微分方程进行动态 经济分析
• 在供求模型背后的动态变化 瓦尔拉斯供求模型 需求函数： QD QD ( P) 供给函数： QS QS ( P) 动态假设：价格随着剩余需求的变化而变化 马歇尔供求模型 需求函数： PD PD (Q) 供给函数：PS PS (Q) 动态假设：数量会随着购买者愿意支付的价格与供给者愿 意接受价格之间的差异变化而变化
• 常系数微分方程 齐次形式 • 定理 n 阶线性常微分方程（线性或者非线性）的通解是 x的函 数 y ，其中刚好有个任意常数。 ，其中 c1 , , cn 为任意常数 y y( x; c1 ,, cn )
• 初始条件与特解
第2节
线性微分方程
求导数学算子 D 线性算子 P( D) D n a1D n 1 an1D an • 则一般 n 阶线性常微分方程可写作 D n y a1D n 1 y an1Dy an y f ( x) 也可写作
特解（潜在均衡值）
a b
辅助方程
dm cm (b ) 0
2
辅助方程的根为
c c 2 4d (b ) m1 , m2 2d
若d 为正，则平方根符号下部分正负符号为
(ve) (ve)(ve) ve
从而具有不同实根，其中一个根大于零，则价格的时间路 径是发散。 若d 为负，不能判断根的情况，若为不同实根而 c 0 ， 那么
可得
1 c 2
2 x
此部分的特解为 y x e 对于3x ，尝试
/2
y c1 c2 x
c 可得c2 3 ，1 6 ，此部分特解为 y 6 3x，该非齐 次方程所求特解为
y 6 3x x 2e x / 2
此方程的通解为
y (c1 c2 x)e x 6 3x x 2e x / 2
定义
•
y( x) y，y 收敛于 y ，y 的时间路径是稳定的
y 在上例中，当且仅当 a 0 时， ( x) y
• 伯努利方程
dy ay cy m dx 其中 a 和 c 为常数或者 x 的函数， m 实数，两边同除 y 可得
m为任意除0和1之外的
y
令
从而
m
dy ay1m c dx
k *为 s 的函数，有
k * k * ( s)
则
dk * / ds 0
c* ( s) (k * ( s)) (n )k * ( s)
求最大化稳态消费水平的储蓄水平
• 稳态
dc* dc* dk * dk * * * ( (k ) ( n )) ds dk ds ds
a1 a3
第8节 非线性微分方程的定性分析
• 一阶微分方程组：
y1 ( x) f ( y1 , y2 )
y2 ( x) g ( y1 , y2 )
自治方程组 • 相图分析 暂设 f ( y1 , y2 ) 0 和 g ( y1 , y2 ) 0 y2 ( x) 0 的图像
当且仅当h 0 时Q(t ) Q
，因 0 ，条件也即
在通常情况下这一条件也满足 • 但在吉芬物品与正斜率供给曲线，或者后仰供给曲线与正 常物品相联系时，两动态假设冲突，一方认为价格和数量 时间路径稳定，而另一方认为其不稳定。
1 1 b a
• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y ( K , L) 边际产品为正但递减
n
a x (c1 sin bx c2 cos bx)
a x (c0 c1 x cn x n )
a x (a0 a1 x an x n )
• 使用规则： （i）如果 f ( x)为几个不同函数的和，应该分别处理这些函 数然后将所得到的特解相加。 （ii）如果待试特解中包含的函数为齐次方程的通解，则 该待试特解需要乘上 x 后再试，如果仍然存在这个问题， 则再乘 x 。 • 例
dny d n 1 y dy a1 n 1 an1 an y k dx n dx dx
• 辅助方程
mn a1mn1 an1m an 0
当且仅当且仅当所有的实根或者所有根的实数部分都为负 时其时间路径收敛。
• Routh定理 n 次多项式方程
第九章 连续时间：微分方程
第1节 定义
• 微分方程就是涉及导数的方程 dy x5 dx
d2y dy 3x 2 y 0 dx 2 dx
2 z 2 z 2 x2 y x 2 y
• 偏微分方程，常微分方程
•
n 阶线性常微分方程
dny d n 1 y dy a1 n 1 an 1 an y f ( x) dy n dy dy
z y1 m
dz dz dy dy (1 m) y m dx dy dx dx
则微分方程可写为
1 dz az c 1 m dx
dy 6 y 7 y3 dx