则得特征方程和特征根
2 p q 0,
1
1 2
( p
p2
4q )，2
1 2
( p
p2 4q ).
y'' py'qy 0，p, q为常数。
2 p q 0,
1
1 2
( p
p2
4q )，2
1 2
( p
p2 4q ).
(1). λ1，λ2为相异实根，则方程通解为
y(x) C1e1x C2e2x，C1, C2为任意常数.
y e3x (C1 cos 2x C2 sin 2x)
例1 求通解 y 2 y 3 y 0
特征根 两个不等的实根r1, r2
两个相等的实根r1=r2=r
一对共轭复根r1,2= i ( 0)
方程的通解 y C1er1x C2er2x
y (C1 C2 x)erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
x)都是方程的解， x)
y1 (
x)
y2
(
x)
1 2
(
y1* (x)
Байду номын сангаас
y2* (x))
ex
cos
1 2i
(
y1* (x)
y2* (x))
ex
sin
x
也是方程的解.
x
从而y(x) C1y1(x) C2 y2 (x)也是方程的解。
y1(x)和y2 (x)的朗斯基行列式说明它 们线性无关.
三种情况所对应的情况的形式列表
首先 y1(x) e1x和y2 (x) e2x都是方程的解， y(x) C1e1x C2e2x也是方程的解, C1, C2为任意常数.
其次 y1(x)和y2 (x)的朗斯基行列式说明它 们线性无关.
w(x) y1(x) y'1 (x)
y2 (x)
e1x
y'2 (x)
e1x 1
e 2 x
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例3：已知y1 xex e2x , y2 xex , y3 xex e2x ex 是二阶常系数线性非齐次微分方程
例7. 求解方程 y''y' 6y = 0 的通解.
解：特征方程是 r2 r 6 = 0
其根r1=3, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为
y = C1e3x + C2e2x.
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
(3). λ1，λ2为共轭复根，即λ1=α+iβ, λ2=α-iβ, 则方程通解为
y(x) (C1 cos x C2 sin x)ex，C1,C2为任意常数.
y1* y2*
( (
x) x)
e( i ) x e( i ) x
ex (cosx i sin ex (cosx i sin
x)都是方程的解. x)
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2 j ,
故所求通解为
y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
(3). λ1，λ2为共轭复根，即λ1=α+iβ, λ2=α-iβ, 则方程通解为
y(x) (C1 cos x C2 sin x)ex，C1, C2为任意常数 .
y1* y2*
( x) (x)
e( i ) x e( i ) x
ex (cos ex (cos
x x
i sin i sin
y py qy ex 2xex 的三个特解，求此微分方程。
解：y1 y3 ex , 特征根r1 1 y1 y2 e2x , 特征根r2 2
特征方程为：(r 1)(r 2) 0 r2 r 2 0
齐次方程为y y 2 y 0
微分方程为y y 2 y e x 2xex
y1(x)和y2 (x)的朗斯基行列式说明它 们线性无关 .
w(x) y1(x) y'1 (x)
y2 (x) y'2 (x)
e1x
e1x 1
xe1x
e1x 1xe1x
e21x
0.
y'' py'qy 0，p, q为常数。
2 p q 0,
1
1 2
( p
p2
4q )，2
1 2
( p
p2 4q ).
y ex (C1 cos x C2 sin x)
例1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
此方程有二重实根
r1
r2
3. 2
故所求通解为
3x
y (C1 C2 x)e 2 .
例9. 求解方程 y''6y'+13y=0. 解：特征方程是
r2 6r + 13 = 0. 其根 r1,2=32i为一对共轭复根, 故所求通解为
e2x 2
e ( (12 ) x 2
1 )
0.
y'' py'qy 0，p, q为常数。
2 p q 0,
1, 2
1 2
p
(2). λ1 =λ2，即特征方程有二重特征根,则方程通解为
y(x) C1e1x C2 xe1x，C1, C2为任意常数.
y1(x) e1x和y2 (x) xe1x都是方程的解， y(x) C1e1x C2 xe1x也是方程的解, C1, C2为任意常数.
§5 二阶线性常系数微分方程
1. 线性常系数齐次方程 y'' py'qy 0，p, q为常数。
设方程的解为 y ex
则得 2ex pex qex 0,
(2 p q)ex 0,
2 p q 0.
特征方程
1. 线性常系数齐次方程 y'' py'qy 0，p, q为常数。
设方程的解为 y ex