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如果微分方程的解中不含任意常数, 则称为微分方程 的特解,确定通解中的任意常数的取值从而得到特解的条 件称为定解条件. 常见的定解条件有初始条件. 例1中的 y(1)=2, 例2中的 s(0)=0, s(0)=20 都是初始条件. n阶微分方程 y(n)=f(x, y, y, y…, y(n1))的初始条件为:
再设列车制动后T秒才停住, 则有: s(T)=0, 即, 0.4T+20=0, T=50(秒),
s ( 5 ) 0 0 .2 5 2 0 2 5 0 5 0( m 0 ),0
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定义 含有未知函数及其导数的等式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
流出.已知小孔截面积A=1(cm2). 从水力学知: 当水面高度
为h (cm)时,水从小孔流出的速率为:
h
0.6A 22g(h cm 3/s)
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求水面高度 h与时间 t 的函数关系。
h
解: 在轴截面上取坐标系,
h+dh O
在[t, t+dt]时间段内, 水面高度有h下降到
h+dh(dh<0), 容器内水的体积减少量的微元:
二阶导数的物理意义:
d2s dt2
0.4,
(2)
且s=s(t)还应满足: s(0)=0, s(0)=20,
(2)的两边积分得: s 0 .4 t C 1, 再积分一次得: s 0 .2 t2 C 1 t C 2,
2
由s(0)=0, s(0)=20, 得: 0=C2, 0+C1=20,
故, s0.2t22t0,
h(y)
两边积 hd (分 y)y得 g(x)d： xC, 13
例1. 求微分方程 dy2xy的通解 . dx
解: 分离变量得: dy 2xdx, y
两边积 :d分 yy得 2xd,x
ln |y|x2C 1, C1是任意常数 .
|y|ex 2 C 1eC 1ex 2, yeC1ex2,
记eC1 C, 得:yCex2,C是任意常 . 数
由y(1)=2, 得: 1+C=2, C=1,
所求曲线为方程: yx31.
1
例2. 一列车在直线轨道上以 20 m/s的速度行驶, 当制动
时列车获得的加速度为0.4m/s2, 问开始制动后列车行驶
了多少时间才停车?又问列车在这段时间内行驶了多少 距离?
解: 设列车在制动后t秒时间内行驶了s=s(t)米,
定义 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数
称为微分方程的阶.
例如 , dy3x2, 是一阶微分方程, dx
d2s dt2
0.4,
是二阶微分方程,
一般地, n阶微分方程的形式是:
F (x ,y ,y ,y ..y ( .n )) , 0 .
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定义 若把某一个函数代替微分方程中的未知函数能使
方程成为恒等式, 则称此函数为该微分方程的解.
10C的速率升温。今若电动机环境具有良好的通风条件, 使环境能保持恒温15C , 则电动机在运转过程中同时受空 气冷却, 按牛顿冷却定律, 冷却速率正比与机温与室温之差 (设比例系数为K)。 试求电动机温度T与时间t的函数关系。
解: 设时刻t的电动机的温度为T(t), 在[t, t+dt]内,电动机温度升高: 10dt, 电动机自然降温: k(T15)dt,
9.1 微分方程的基本概念 9.1.1 定义
例1. 已知一曲线通过点(1, 2), 且该曲线上任一点M(x, y) 处的切线斜率为3x2, 求此曲线方程.
解: 设所求曲线方程为: y=y(x),
y(x)应满 :d y 足 3x2,(1) dx
和y(1)2,
(1)两边积分得: y3x2dx x3C, C是任意 ,
dv= r2 dh= [1002(100h)2]dh=(200hh2)dh,
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流出的水的体积微元: 0.622ghd,t
(2h 0 h 2 0 )d h 0 .62 2 gd h ,t
即ddh t0(2.602h02gh2h),
且 h(0)10.0
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例7. 一电动机在不考虑冷却的情况下, 运转时将以每小时
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例4. 求曲线 y=C1x+C2x2 所满足的微分方程.
解: 求导得: yC 1 2 C 2x , y2C2,
得:
C2
y, 2
C 1yx y,
代 入 曲 : y线 (y方 xy)x 程 yx2,得
2
化:简 2 y 2 x y 得 x 2 y 0 .
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9.1.2 建立微分方程举例
例6.有一半径为1 (m)的半球形容器, 盛满水, 水从底部小孔
电动机温度改变量的微元为: dT=10dt k(T15)dt,
即: dT=(10 kT+15k)dt, 即d)1.5
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9.2 一阶微分方程 一阶微:分 F(x 方 ,y,y程 )0
dy f(x, y) dx 9.2.1 可分离变量的微分方程程
dyg(x)h(y), dx 分离变 dy量 g(x ： )d,x
例 ,y 如 x 3 C 及 y x 3 1 都 d 是 y 3 x 2 的 , 解 dx
s 0 .2 t2 C 1 t C 2及 s 0 .2 t2 2t都 0 是
d2s dt2
0.4
的解,
如果微分方程的解中含有一些独立的任意常数, 任 意常数的个数与方程的阶数相同, 则称这样的解为微分 方程的通解.
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例3. 验证 yx(e x xd x C )是方 xyy程 xx 的 e 通 . 解: yexxdxCxexxexxdxCex,
左 端 xyyx (e x x d x C ex)x (e x xd x C )
xex 右端 ,
故 ,yx (e x x d x C )是x 方 y y 程 xx 的 e , 解 yx(exxdxC),有一个任意 , 常数 yx(e x xd x C )是方 xyy程 xx 的 e 通 . 解
y(x0)=y0, y(x0)=y1, y(x0)=y2,…, y(n1)(x0)= yn1,
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并称
y (n )f(x ,y ,y ,..y .(n , 1 )), y (x 0 )y 0 ,y (x 0 )y 1 ,..y .(n , 1 )(x 0 )y n 1 ,
为初始问题. 微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.