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2019-2020年高中数学 3.5.2:等比数列《教学与测试》第40、41课 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学 3.5.2:等比数列《教学与测试》第40、41课 新人教A 版必修1目的:通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。

过程:一、复习:等比数列的有关概念,等比数列前n 项和的公式二、处理《教学与测试》第40课:例一、(P83)先要求x ,还要检验(等比数列中任一项a n 0, q 0) 例二、(P83)注意讲: 1“设”的技巧2 区别“计划增产台数”与“实际生产台数”例三、(P83)涉及字母比较多(5个),要注意消去a 2, a 4 例四、(备用题)已知等比数列{a n }的通项公式且:,求证:{b n }成GP 证:∵∴132********)21(3)21(3)21(3-----++=++=n n n n n n n a a a b 3333)21(421)41211()21(3--=++=n n∴ ∴{b n }成GP三、处理《教学与测试》第41课:例1、(P85)可利用等比数列性质a 1a n = a 2 a n 1, 再结合韦达定理求出a 1与a n(两解),再求解。

例2、(P85)考虑由前项求通项,得出数列{a n },再得出数列{},再求和——注意:从第二项起....是公比为的GP 例3、(P85)应用题:先弄清:资金数=上年资金×(1+50%)消费基金。

然后逐一推算,用数列观点写出a 5,再用求和公式代入求解。

例4、 (备用题)已知数列{a n }中,a 1=2且a n+1=S n ,求a n ,S n 解:∵a n+1=S n 又∵a n+1=S n+1 S n ∴S n+1=2S n∴{S n }是公比为2的等比数列,其首项为S 1= a 1=2, ∴S 1= a 1×2n 1= 2n∴当n ≥2时, a n =S n S n 1=2n 1∴例5、 (备用题)是否存在数列{a n },其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数列,且公比相同?解:设等比数列{a n }的公比为q ,如果{S n }是公比为q 的等比数列,则:⎪⎩⎪⎨⎧≠--====--11)1(1111111q qq a q na S q a q S S n n n n n 而∴)(111)1(,1111111矛盾得即:时n n q nn na a n S S na q a S q n n n n =+==+=+====+-)(11111,111111矛盾即:)(时=⇒=--=--==≠++-q q qq S S q q a qa S q nn n n nn n 所以,这样的等比数列不存在。

四、作业:《教学与测试》P84、P86 练习题2019-2020年高中数学 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较名师考点精讲北师大版必修1[读教材·填要点]1.三种函数的增长特点(1)当a>1时,指数函数y=a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快.(2)当a>1时,对数函数y=log a x是增函数,并且当a越小时,其函数值的增长就越快.(3)当x>0,n>1时,幂函数y=x n显然也是增函数,并且当x>1时,n越大其函数值的增长就越快.2.三种函数的增长比较在区间(0,+∞)上,尽管函数y=a x(a>1),y=log a x(a>1)和y=x n(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,幂函数y=x n(n>0),指数函数y=a x(a>1)增长的快慢交替出现,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x n(n>0)的增长速度,而y=log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢.一般地,若a>1,n>0,那么当x足够大时,一定有a x>x n>log a x.[小问题·大思维]1.2x>log2x,x2>log2x,在(0,+∞)上一定成立吗?提示:结合图像知一定成立.2.2x>x2在(0,+∞)上一定成立吗?提示:不一定,当0<x<2和x>4时成立,而当2<x<4时,2x<x2.[研一题][例1] 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数型函数变化的变量是________.[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从5开始变化,变量y4越来越小,但是减小的速度很慢,则变量y4关于x不呈指数型函数变化;而变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增大的速度不同,其中变量y2的增长最快,画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化.[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况,结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异,从中作出判断.[通一类]1.下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表:试问:(1)随着x的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势?(2)各函数增长的快慢有什么不同?解:(1)随x的增大,各函数的函数值都在增大;(2)由图表可以看出,各函数增长的快慢不同,其中f(x)=2x增长最快,而且越来越快;增长最慢的是f(x)=log2x,而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案?[自主解答] 设第x天所得回报是y元.由题意,方案一:y=40(x∈N+);方案二:y=10x(x∈N+);方案三:y=0.4×2x-1(x∈N+).作出三个函数的图像如图:由图可以看出,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,在第四天,方案一,二一样多,方案三最少,在第五天到第八天,方案二最多,第九天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,经验证到第三十天,所得回报已超过2亿元,∴若是短期投资可选择方案一或方案二,长期的投资则选择方案三.通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.∴投资一天到六天,应选方案一,投资七天方案一,二均可,投资八天到十天应选方案二,投资十一天及其以上,应选方案三.[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决,结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系.(2)一般地:指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律;对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;而幂函数增长模型介于两者之间,适合于描述增长速度一般的变化规律.[通一类]2.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个函数,描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系;Q =at +b ,Q =at 2+bt +c ,Q =a ·b t ,Q =a ·log b t .(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 解:(1)由表中数据知,当时间t 变化时,种植成本并不是单调的,故只能选择Q =at 2+bt +c .即⎩⎪⎨⎪⎧150=a ×502+b ×50+c ,108=a ×1102+b ×110+c ,150=a ×2502+b ×250+c . 解得Q =1200t 2-32t +4252;(2)Q =1200(t -150)2+4252-2252=1200(t -150)2+100, ∴当t =150天时,西红柿的种植成本最低,为100元/102kg.若x 2<log m x 在x ∈(0,12)内恒成立,求实数m 的取值范围.[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0,12)内的上下位置关系,再构建不等式求解.[妙解] 设y 1=x 2,y 2=log m x ,作出符合题意的两函数的大致图像(如图),可知0<m <1.当x =12时,y 1=14,若两函数在x =12处相交,则y 2=14.由14=log m 12得m =116,又x 2<log m x 在x ∈(0,12)内恒成立,因此,实数m 的取值范围为116≤m <1.1.下面对函数f (x )=log 12x 与g (x )=(12)x在区间(0,+∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A .f (x )的增减速度越来越慢,g (x )的增减速度越来越快B .f (x )的增减速度越来越快,g (x )的增减速度越来越慢C .f (x )的增减速度越来越慢,g (x )的增减速度越来越慢D .f (x )的增减速度越来越快,g (x )的增减速度越来越快解析:在同一坐标下分别作出函数y =log 12x 和y =(12)x的图像,由图像知C 正确.答案:C2.下列所给函数,增长最快的是( )A .y =5xB .y =x 5C .y =log 5xD .y =5x答案:D3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷,0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A .y =0.2xB .y =110(x 2+2x )C .y =2x10D .y =0.2+log 16x解析:当x =1时,否定B ;当x =2时,否定D ;当x =3时,否定A. 答案:C4.已知函数f (x )=3x,g (x )=2x ,当x ∈R 时,f (x )与g (x )的大小关系为________. 解析:在同一直角坐标系中画出函数f (x )=3x,g (x )=2x 的图像,如图所示,由于函数f(x)=3x的图像在函数g(x)=2x图像的上方,则f(x)>g(x).答案:f(x)>g(x)5.据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设xx年的湖水量为m,从xx年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________.解析:设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50=0.9,∴q%=0.9150,∴x年后湖水量y=m·(q%)x=m·0.9x50.答案:y=0.9x50·m6.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图像如图所示.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x;(2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x).一、选择题1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )A.y=10x B.y=lg xC.y=x10D.y=10x解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=10x的增长速度最快.答案:D2.某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x 年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图像为( )解析:y=f(x)=(1+10.4%)x=1.104x是指数型函数,定义域为{0,1,2,3,4…},由单调性,结合图像知选D.答案:D3.函数y =2x -x 2的图像大致是( )解析:由图像可知,y =2x 与y =x 2的交点有3个,说明函数y =2x -x 2与x 轴的交点有3个,故排除B 、C 选项,当x <x 0时,有x 2>2x成立,即y <0,故排除D.答案:A4.当0<x <1时,f (x )=x 2,g (x )=x 12,h (x )=x -2的大小关系是( )A .h (x )<g (x )<f (x )B .h (x )<f (x )<g (x )C .g (x )<h (x )<f (x )D .f (x )<g (x )<h (x )解析:在同一坐标下作出函数f (x )=x 2,g (x )=x 12,h (x )=x -2的图像,由图像知,D 正确.答案:D 二、填空题5.近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆.房子没有什么变化,但价格却上涨了,小张在xx 年以15万元的价格购得一所新房子,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到xx 年,这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________.解析:1年后,y =15(1+x );2年后,y =15(1+x )2;3年后,y =15(1+x )3,…,10年后,y =15(1+x )10.答案:y =15(1+x )106.在直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数y =f (x )的图像恰好经过k 个格点,则称函数y =f (x )为k 阶格点函数,则下列函数中为一阶格点函数的序号是________.①y =x 2;②y =x -1;③y =e x-1;④y =log 2x .解析:这是一道新概念题,重点考查函数值的变化情况.显然①④都有无数个格点;②有两个格点(1,1),(-1,-1);而③y =e x-1除了(0,0)外,其余点的坐标都与e 有关,所以不是整点,故③符合.答案:③7.若a =(35)x ,b =x 3,c =log 35x ,则当x >1时,a ,b ,c 的大小关系是________.解析:∵x >1,∴a =(35)x ∈(0,1),b =x 3∈(1,+∞),c =log 35x ∈(-∞,0).∴c <a <b .答案:c <a <b8.已知a >0,a ≠1,f (x )=x 2-a x,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,则实数a 的取值范围是________.解析:当a >1时,作出函数y 1=x 2,y 2=a x的图像:要使x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,只要当x =-1时,有(-1)2-a -1≤12,解得a ≤2,∴1<a ≤2.当0<a <1时,同理,只需12-a 1≤12,即a ≥12.∴12≤a <1. 综上所述,a 的取值范围是[12,1)∪(1,2].答案:[12,1)∪(1,2]三、解答题9.一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事.一个叫吉米的人对他说:“我想和你订立个合同,在整整一个月中,我每天给你10万元,而你第一天只需要给我1分钱,以后每天给我的钱数是前一天的两倍”.迈克非常高兴,他同意订立这样的合同.试通过计算说明,谁将在合同中获利?解:在一个月(按31天计算)的时间里,迈克每天得到10万元,增长的方式是直线增长,经过31天后,共得到31×10=310(万元).而吉米,第一天得到1分,第二天得到2分,第三天得到4分,第四天得到8分,第20天得到219分,……第31天得到230分,使用计算器计算可得1+2+4+8+16+…+230=2 147 483 647分≈214 7.48(万元).所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48-310=1 837.48(万元).所以吉米将在合同中获利.10.某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,开始按销售利润进行奖励,奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?解:借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图像(如图),观察图像发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图像都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图像始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求,下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上单调递增,当x∈(20,1 000)时,y>5,因此该模型不符合要求;对于模型y=1.002x,由函数图像,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间[10,1 000]上单调递增,因此当x>x0时,y>5,因此该模型也不符合要求;对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上单调递增,而且当x=1 000时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y =log 7x +1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x ∈[10,1 000]时,是否有y x =log 7x +1x≤0.25成立. 令f (x )=log 7x +1-0.25x ,x ∈[10,1 000]. 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图),由图像可知它是单调递减的,因此f (x )<f (10)≈-0.316 7<0,log 7x +1<0.25x .所以,当x ∈[10,1 000]时,log 7x +1x<0.25. 说明按模型y =log 7x +1奖励,奖金不会超过利润的25%. 综上所述,模型y =log 7x +1确实能符合公司要求.。

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