天津职业技术师范大学
人教A版数学必修5第48-52页
2.4等比数列
理学院数学0801 刘瑞平
等比数列教案
一、 课题：等比数列 二、 课型：新授课 三、 教材分析
等比数列的学习在本章中占很大的比重。

在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要用有关等比数列的知识来解决。

本节内容可以类比等差数列进行教学。

四、 学情分析
学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具有了必要的与数列相关的知识。

因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。

这样，学生既学习了知识又培养了能力。

五、 教学目标：
1) 知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个
数列是否为等比数列；利用通向公式求项。

2) 能力目标：让学生感知数学与生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法，
掌握迭乘的思想，调动学生积极观察思考。

3) 情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高
学生数学思维的情趣。

4) 教学重点与教学难点 教学重点：等比数列的概念
教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。

六、 教学方法：讲授法，讨论法 七、 教学过程：
1、导入，设问激疑
设问激疑 引出课题 巩固定义 严谨思维 类比等差 推导通项 证明等比 揭示内涵 设问思考 积极探索 反思小结 培养能力
师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm ），将它对折50次会有多厚？如果拿它做云梯能到哪？
（师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为 初始 0.1mm
折叠1次 0.1⨯2 = 0.1⨯21 折叠2次 0.1⨯2⨯2 = 0.1⨯22 折叠3次 0.1⨯2⨯2⨯2 = 0.1⨯23
折叠4次 0.1⨯2⨯2⨯2⨯2 = 0.1⨯24 ……
可以猜想得出 ，折叠50次之后，报纸厚度为 0.1⨯250 。

lg 250 ≈15.05 ，也就是说250
是一个15位整数，2
50
⨯0.1mm=1000
10001
.0250⨯⨯km ，这个数字我们不
知道他确切的值是多少，但可以知道它是一个八位数。

而地球到月球的距离仅有
385400km （六位数）。

（让学生感受事实与想象之间的差距）
2、新课引入
回过头来，再次分析报纸的折叠问题。

将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。

初始 0.1mm
折叠1次 0.1⨯2 = 0.1⨯21
折叠2次 0.1⨯2⨯2 = 0.1⨯22
折叠3次 0.1⨯2⨯2⨯2 = 0.1⨯23
折叠4次 0.1⨯2⨯2⨯2⨯2 = 0.1⨯24
……
按等差数列来看，它是等差数列吗？
显然不是等差数列，同学们观察一下，这个数列的前项与后项有什么关系？ 我们会发现一些特点：从第二项开始，每一项与前一项的比都等于2。

以后，我们就把具有这种特点或特征的数列称为等比数列。

今天我们就一起来认识这种新的数列——等比数列。

（板书课题）
（ppt 定义）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q 来表示（q ≠0）。

师：等比数列的定义还可以用怎样的式子刻画呢？ 生：
q a a n
n =+1
（常数）
（n=1,2,3……） 师：以上我们学习了等比数列的定义，接下来我们就利用定义一起来判断以下一个数列是否为等比数列。

例1、判断以下数列是否为等比数列？
1) , (16)
1
,81,41,21,1
2) 1，2，4，8，16，20……. 3) .......,,,,a a a a a 生：1）是等比数列，因为
2
1
1=+n n a a ，
（n=1,2,3……） 2）不是等比数列，因为
,4
5
,25612==a a a a 不等于同一个常数。

3）是等比数列，因为11==+a
a a a n n 师：有不同意见吗？
生：当时不是。

时是等比数列，当00=≠a a
师：由此可以联想到等比数列的项和公比有何限制？ 生：.0,0≠≠q a n
2、设首项为 1a ，公比为q ，它的通项怎么写？ 下面，我们类比等差数列，一起来推导等比数列的通项： 在等差数列{}n a 中，
d n a a d a a d a a d a a d a a n n n )1(.,.....,,11342312-+==-=-=-=--迭加得到等差通项为
类比推导：
我们用迭乘的方法证明了猜想的正确性，迭乘的方法在这里体现了极大的优越性，当然迭乘不是求数列通项公式的唯一方法，等我们学完数学归纳法之后，我们还可以给出另一种关于数列通项的推导。

我们把这个结果称为等比数列的通项公式。

（+∈≠≠N n q a n .0,0） （与刚学过的知识进行类比）
例2、（已知某些项，求a 和q ）已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第二项。

解：设这个等比数列的第1项是1a ,公比是q ，那么 ,1221=⋅q a
.1831=⋅q a
1
11
3
42
3
1
2
......--⋅=⇒====n n n n
q a a q a a q
a a q a a q a a
得:2
3=
q .3
161=
a 因此 q a a ⋅=12 82
3316=⨯=
答：这个数列的第1项和第2项分别是
3
16
与8 例3、已知数列{}n a 和{}n b 是项数相同的等比数列，求证数列{}n n b a ⋅也是等比数列。

（板书证明）
证明：设数列{}n a 的公比为p,{}n b 的公比为q,{}n a 那么数列{}n n b a ⋅的第n 项和第n+1项分别为 ： ()()。

与，即与n
n n n n n pq b a pq b a q b p a q b p a 111
11111111---⋅⋅⋅⋅⋅⋅
()()
,1
111111pq pq b a pq b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++因为它是一个与n 无关的常数，所以数列{}n n b a ⋅是一个以pq 为公比的等比数列。

（师生一起总结证明思路）
例4、（已知项，求项）已知｛n a ｝是一个等比数列，在下表中填入适当的数。

1a
3a
5a
7a
q
2
8 3
2 2
3
（学生完成教师预先发下的表格，思考）
（课后探索题）已知{}n a 是一个无穷等比数列，公比为q 。

思考：
1）取出数列{}n a 中的奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，请给出证明，并求出它的首项和公比。

2）在数列{}n a 中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列有什么特点呢？证明你的猜想。

八、 本课小结
这节课，我们一起认识学习了一种新的数列——等比数列。

通过学习，我们知道，这种数列的特点是：从第二项开始，每一项与前一项的比都是同一个定值，称之为q.
通过与等差数列的类比学习，可以知道等比数列的通项是：11-⋅=n n q a a 九、 板书设计
等比数列
等差：d n a )1(1-+ 等比：11-⋅=n n q a a
通项推导：
迭 乘 思 想
（类比等差数列的迭加思想，体会迭乘的思想）
十、印发表格（课前发给学生）
1
11
34
23
1
2......--⋅=⇒====n n n n
q a a q a a q a a q a a q a a 证明：设数列{}n a 的公比为p,{}n b 的公比为q,{}n a 那么数列{}n n b a ⋅的第n 项和第n+1
项分别为 ： ()()。

与即，
与
n
n n n n n pq b a pq b a q b p a q b p a 111
11111111---⋅⋅⋅⋅⋅⋅
()(),1111111pq pq b a pq b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++因为它是一个与n 无关的常数，所以数列{}n n b a ⋅是一个以
pq 为公比的等比数列。

完成下列表格
已知｛n a ｝是一个等比数列，在下表中填入适当的数。

1a
3a
5a
7a
q
2
8
2
2
1
课后探索：已知{}n a 是一个无穷等比数列，公比为q 。

思考：
1）取出数列{}n a 中的奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，请给出证明，并求出它的首项和公比。

2）在数列{}n a 中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列有什么特点呢？证明你的猜想。