def
含义： ( t ) 函数，在t=0点有一“冲激”， 在t=0点外各处，函数值为零。 注意：如果矩形面积=E， ( t ) 冲激强度为E
▲ 17:21
0
■
τ
第 6页
★面积为1 三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
▲ 17:21
■
第 7页
2. 狄拉克(Dirac)定义
f (t) f(t)ε (t)
1 T
t
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
o (b)
t
o
f((t) 1
▲
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t ( t )
t
■
t
第 4页
17:21
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，
作用时间极短一种物理量的理想化模型。 矩形脉冲演变为冲激函数； 狄拉克（Dirac)定义定义； 冲激函数与阶跃函数关系； 冲激函数的性质。
(2) 当a = –1时
( n ) ( t ) ( 1)n ( n ) ( t )
δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
17:21
▲
■
第 18 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2
（4）微积分性质
d (t ) (t ) dt 17:21
( ) d (t )
t
▲
■
第 20 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列------非奇异函数
1. 单位(样值)序列δ(k)
def 1,
(k )
k0 •定 (k ) 义 0, k 0 •取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
▲ 17:21 ■ 第 8页
3. δ(t)与ε(t)的关系
ε (t ) 1 o t
求导
积分
o
δ (t ) (1) t
( t ) t ( ) d
d (t ) (t ) dt
▲ 17:21
■
第 9页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t ) 2
f '(t) (2)
■ 第 21 页

Hale Waihona Puke 2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义 ( k )
def 1,
k0
1 -1
ε (k)
… o1 2 3 k
0, k 0
•ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或
(k ) (i )
i
k
(k ) (k j )
1 / 2
t
求 导
0
t
1 / 2
t
▲ 17:21
■
第 15 页
冲激偶的性质
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
① f(t)δ’(t) = f(0)δ’(t) – f ’(0)δ (t)
证明 [ f(t)δ(t)]’ = f(t)δ’(t) + f ’(t)δ (t)

▲ ■ 第 16 页
f ( 0)
17:21
冲激偶的性质
②
' ( t ) f ( t ) d t f ' (0)


δ’(t)的平移：
( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )
δ(n)(t)的定义：
③ ④
t ( t ) d t
( t
t0 ) f (t ) d t f (t0 )
▲ ■ 第 12 页
17:21
( t ) f ( t ) f (0) ( t ) 取样性证明
分t = 0和t ≠0 两种情况讨论
1. 当t ≠0 时， δ(t)= 0， f(t)δ(t)= 0， 积分结果为0 2. 当t = 0 时， δ(t) ≠ 0，
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 阶跃函数；
冲激函数；
阶跃序列和单位样值序列。
■ 17:21
第 1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
u( t )
1
t
电路如图： 在t=0时刻，电路接入电源，且无限 持续下去。 单位阶跃函数
▲ 17:21
■
第 5页
1.矩形脉冲演变为冲激函数δ(t)
矩形脉冲
p ( t ) 如右图：
p ( t )
宽为τ
,高为1/ τ ,面积为1
脉冲幅度
变化： 面积1不变，脉冲宽度τ 0
1

← τ → (t )
E
τ/1 t
( t ) lim p ( t ) 单位冲激函数
0
1 1 at t a a
t0 1 (at t0 ) (t ) |a| a
证明 举例

( n)
1 1 ( n) (at ) n (t ) |a| a
推论: (1)
1 (at ) ( t ) |a|
δ(2t) = 0.5δ (t)
1 u( t ) 0 ( t 0) t 0
注意：在t=0处，发生跳变,未定义或1/2。
▲ 17:21 ■ 第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
0 t 0 (t ) 1 t 0
(t )
1
O
t
(t t 0 )
0 (t t0 ) 1
j 0

ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
▲ 17:21 ■ 第 22 页
( t ) 0 t 0 ( t ) d t 1
( t ) d t
δ (t ) (1) o t

0 0 ( t ) d t
1
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1； t =0 时， t ，为无界函数。
0 3 sin( t
2 2
) ( t 1) d t ? 4

0
9 sin( t ) ( t ) d t ? 1
4
2 2
1 1 2 (
2t , 1 t 1 t ( 1)2 ( ) d ? ε ( t) 1 t ) d ? 其它 0,
(4)
g(t) = f '(t)
2
求导
-2 o -1 t
t
(2) -1 o -1
g(2t)
1
压 缩
t
▲ 17:21
■
第 19 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶
( t ) ( t )



f (t ) (t ) d t f (0)
( n) n ( n) ( t ) f ( t ) d t ( 1 ) f ( 0)

t
不能按常规函数对待
/ (t )

( t ) d t 0
+、-面积抵消
▲
t
■
17:21
第 17 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
⑴ 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
( t )
f (t )
f ( 0 ) ( t )
f ( t ) d t f ( 0)
o
t
⑵ 对于平移情况：
f (t ) (t t 0) f (t0 ) (t t 0)
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
1 -2 -1 0 1 2
k
f ( k ) ( k ) f (0)
( k 5) ( k ) ?


•例
17:21
k
(k ) ?

k
i ▲
(k i ) ?
f(t)δ’(t) = [ f(t)δ(t)]’ – f ’(t)δ (t)
= f(0)δ’(t) – f ’(0)δ (t) ②
( t )
' ( t ) f ( t ) d t f ' (0)
证明

f ( t ) d t f ( 0)

f ( t ) ( t ) f ( t ) ( t )dt ( t ) f ( t )dt
d 2t e ( t ) e 2t ( t ) 2 e 2t ( t ) ( t ) 2 e 2t ( t ) dt
■ 17:21


第 14 页
2.冲激偶
S(t)
1 /
规则函数求极限定义
(t )
0
t
/ (t )

求 导

S/(t)

f(t)δ(t)= f(0)δ(t) ，
0
积分为 f (0) ( t )dt f (0)0 ( t )dt f (0)