0
0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
o
δ(t)
(1) t
t ，为无界函数。 t =0 时，
推导
返回 ▲
■
第6页
2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γn
1 2
1 o
1 n
n 2
t
def
求导
pn(t)
1 n
1 n
0 (t t0 ) 1
0 (t t0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
t t0 , t0 0 t t0
1
O
t0
(t t 0 )
t
1
t0 O
▲ ■
t
第3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
f ( 0 ) ( t )



(t ) f (t ) d t f (0)
o
证明 对于平移情况：
f (t ) (t t 0 ) f (t0 ) (t t 0 )
t



(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
举例
返回
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s( t )
|a|
|a|
a
(2) 当a = –1时 ( n) (t ) (1) n ( n) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2

(t 2) 2 ' (t ) d t
返回 ▲
■
第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明
举例
1 1 ( n) n (t ) |a| a
( n ) (at)
δ(2t) = 0.5δ (t) 推论: t0 1 1 (t ) (at t 0 ) (t ) (1) (at)
狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ (t) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1




(t ) d t (t ) d t
求导
o t
t
(1) o
▲ ■
(t ) ( ) d

d (t ) (t ) dt
t
第8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (-2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
求导，得g(t)
t
(4) -2
g(t) = f '(t)
2
o -1
t
压缩，得g(2t)
(2) -1 o -1
g(2t)
1
t
返回 ▲
■
第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t )
证明
(t ) f (t ) d t (1) n f
( n)
δ(n)(t)的定义： δ’(t)的平移： ③ 例






( n)
(0)
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )


t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t ) d t t
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
1
(t )

(1)


τ↓
o
s( t )

1
t
O
t
0
( t )
2

O 1

t
O
t
2
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明



' (t ) f (t ) d t f ' (0)
o 1 2 t f (t) 2
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t ) f(t)ε (t)
-1
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t (t )
返回 ▲
■
第4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
补充
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分 有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函 数。 阶跃函数 冲激函数 冲激函数 练习题
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
d d f (t ) { [ f (t )]} [ f (t )] dt dt
o
1 n
t
(t ) lim pn (t )
n
物理意义
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。 返回
▲ ■ 第7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γn
1 2
1 o
1 n
求导
n 2 1 n
pn(t)

1 n
d n (t ) p n (t ) dt
t
n→∞

o
1 n
t
ε(t)
1
δ(t)
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
1 2
1 o
1 n
0, t 0 def 1 (t ) lim n (t ) , t 0 n 2 1, t 0
信号的物理意义：

1 n
t
(t )
1
O
▲ ■
t
第2页
2. 延迟单位阶跃信号
1
O
(t )
t
(t t 0 )
冲激函数的物理解释
返回
▲
■
第9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数 冲击函数的性质总结
下一部分内容
▲ ■ 第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t ) f (t ) f (0) (t )
f (t )