B ·O
(
Ø以半A、圆B为端点的弧记作 AB ，读作
A
C
“圆弧AB”或“弧AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆．
Ø劣弧与优弧
B
((
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
·O
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. A
C
u等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 想一想：长度相等的弧是等弧吗？
P2
P4 P1 P3
P1 ( 5 , 0 )
P2 ( - 5 , 0 )
P3 ( 4 , 0 )
P4
(
5 4
,0)
想一想
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形 可以吗？
练习
1.填空：
（1）_直__径___是圆中最长的弦，它是_半__径___的2倍．
（2）图中有 一 条直径， 二 条非直径的弦，
九年级数学下册知识点 圆
观察与思考 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
情境引入
一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排 开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当 排成什么样的队形？
一 探究圆的概念
探究归纳 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
A
r
·
O
u圆的旋转定义
4.⊙ O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为 （3,4），则点P与⊙ O的位置关系为 （ B ）
A.在⊙ O内
B.在⊙ O上
C.在⊙ O外
D.在⊙ O上或⊙ O外
5.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为 10cm, 则这个圆的半径是 7cm或3cm .
6.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并 且小于或等于3cm的点组成的图形.
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋 转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O 为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作“圆O”. u有关概念
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般 用r表示．
问题：从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长．r （2）到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆上 ．
u圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以 看成是平面上到定点O的距离等 于定长r的所有点组成的图形．
D
r
A
r O· Cr
r r
E
u确定一个圆的要素 一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小．
同心圆
等圆
能够重合 的两个圆 叫做等圆.
圆心相同，半径不同 半径相同，圆心不同
问题：现在你能回答本课最开始的问题了吗？
D
圆中以A为一个端点的优弧有 四 条，
E O
A
B
劣弧有 四 条．
C
F
2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧.
3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心，2cm为半径 作⊙ A，则点B在⊙ A 上；点C在⊙ A 外 ；点D在⊙ A 上.
知识要点
1.根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”. 2.直径是圆中最长的弦.
p附图解释：
连接OC, 在△AOC中，根据三角形三边关 系有AO+OC>AC, 而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
A
·O
C
B
例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、 D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.
解：连接OA. ∵ABCD为正方形
xx
x
x
∴DC=CO 设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x
又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中, AB2 BO2 AO2
即(x)2 (2x)2 102 AB x 2 5
三 点和圆的位置关系
问题1：观察下图，其中点和圆的位置关系有哪几种？
.....o...B .A
算一算：设在例3中，⊙ O的半径为10，则正方形
ABCD的边长为 4 5 .
2x 10
？Ⅰ Ⅱ
x
连OA,OD即可， 同圆的半径相等.
在Rt△ABO中，AB2 + BO2 = AO2
即(2x)2 + x2 = 102
变式：如图，在扇形MON中，MON =45，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上， 顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
解：AD=4=r，故D点在⊙ A上 AB=3<r，故B点在⊙ A内 AC=5>r，故C点在⊙ A外
（2）若以A点为圆心作⊙ A，使B、C、D三点中至少有 一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙ A的半径r的取 值范围？（直接写出答案）
3<r<5
变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1）， P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的 P有几个？求出点P的坐标.
为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
乙 甲
丙 丁
典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形， A
D
∴AO=OC，OB=OD.
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
练一练：
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离 分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙ O的
位置关系是：点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点 C在 圆外 .
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若
OP= 3 ，则点P在（ D ）
A.大圆内
B.小圆内
o
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
1
3cm 2cm
O·
能力拓展：一个8×12米的长方形草地，现要安装自 动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装 几个? 怎样安装? 请说明理由.
小结
同心圆
定义
圆 有关 概念
同圆 等圆
旋转定义
集合定义 弦（直径）
劣弧 弧 半圆
优弧
要画一个确定的 圆，关键是 确定圆心和半径
同圆半径相等 直径是圆中最长
要点归纳 点和圆的位置关系
P
P
d
d
Pd
r
r
r
P
r
R
点P在⊙ O内 d<r 点P在⊙ O上 d=r
点P在⊙ O外 d>r 点P在圆环内 r＜d＜R
数形结合：位置关系
数量关系
例4：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙ A，则点B、C、D与 ⊙ A的位置关系如何？
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
二 圆的有关概念
u弦:
A
连接圆上任意两点中的AB）叫做直径．
·O
C
B
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的 弦，但弦不一定是直径.
u弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简 称弧．
的弦
半圆是特殊的弧
等弧
能够互相重合的两段弧
位置关系数量化
点与圆的 位置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r d=r d<r
P r
R
点P在圆环内
r≤d≤R
C
点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在 点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置 关系呢？
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙ O内 点P在⊙ O上 点P在⊙ O外
d ＜r d= r d＞r
练一练
如图.
(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
劣弧：AF, AD,AC,AE.
优弧：AFE, AFC,AED,AEF.
D
B
(
( (( (( ( ((
(2)请写出以点A为端点的弦及直径. F O
E
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
A
C
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 AF .