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插值的几何意义
插值多项式的几何意义
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插值唯一性定理
定理：(唯一性) 满足 P (x i)yi,i0 ,..,n .的 n 阶插值 多项式是唯一存在的。
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存在唯一性定理证明
设所要构造的插值多项式为：
P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n 由插值条件
P n ( x i) y i
L 2 ( x ) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L 2 ( x ) L 2 (x ) y 0 l0 (x ) y 1 l1 (x ) y 2 l2 (x )
i 0 ,1 , ,n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
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存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
1 x0 x02 D 1 x1 x12
x0n
x1n
(xi xj)
0jin
的线性组合得到，其系数分别为 y 0 ，y 1
称 l0(x),l1(x)为节点 x 0 , x 1的线性插值基函数
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一次Lagrange插值多项式(5)
线性插值基函数 l0(x),l1(x) 满足下述条件
xi
x0
x1
l0 ( x )
1
0
l1 ( x )
0
1
并且他们都是一次函数。 注意他们的特点对下面的推广很重要
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二次Lagrange插值多项式1
线性插值只利用两对值 及 求得的 近似值，误差较大。
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
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二次Lagrange插值多项式2
设被插函数在插值节点 x0 , x1, x2 处的函数值为
y0 , y1, y2 以过节点 (xi,yi) (i0,1,2) 的二次函数
x x 0 x 1
xn1 xn
y y 0 y 1
yn1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 xxi,i0,1,L,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
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多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 yf(x)在n1
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一次Lagrange插值多项式(2)
一次插值多项式
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一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有：
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一次Lagrange插值多项式(4)
记
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
可以看出
L1(x)xx0xx11y0xx1 xx00 y1
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一次Lagrange插值多项式(6)
• 我们称 l 0 ( x ) 为点 x 0 的一次插值基函数，l 1 ( x ) 为点 x 1 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取 值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 p 1 ( x ) 是这两个插值基函数的线性组合，其组合系 数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作 为拉格朗日（Lagrange）插值。
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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线性插值函数
f(x) (x1，y1) P1(x)
(x0 ，y0)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
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抛物插值函数
p2(x) f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
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N次插值函数
设连续函数 y f (x) 在[a, b]上对给定n + 1个不同结点：
1 xn
xn2
x
n n
范得蒙行列式 ！
当 xi x j i1,2,n; j1,2,n 时，
D 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。
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插值方法
一、解方程组法： 类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函
数为 P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n，将n 1 个节点 的函数值代入多项式里，便得到 n 1 个等式，得到一个
关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得 到所要求的插值多项式。 二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机 求解的方法，下面将具体介绍。
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拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，
把 pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数
个互不相同的点处的函数值 y f( x ) i ,0 , 1 , , ，n 为求
i
i
yf(x的) 近似式，自然应当选 n次多项式
P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 L a n x n
使 P (x) 满足条件 n
P n (x i) y i,i 0 ,1 ,L ,n
f(x)称 为 被 插 函 数 ,pn(x)称 插 值 多 项 式 ,条 件 (33)称 插 值 条 件 , x0,x1,L,xn称 插 值 节 点 o这 种 求 函 数 近 似 式 的 方 法 称 为 插 值 法 o 几 何 上 ,其 实 质 是 用 通 过 n1个 点 (x1,y1)(i0,1,L,n)的 多 项 式 曲 线 ypn(x),当 作 曲 线 yf(x)的 近 似 曲 线 .如 图 所 示 o
Lagrange插值
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主要知识点
• 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； • Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次
Lagrange插值公式）； • 插值余项； • 插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。
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插值问题描述
• 设已知某个函数关系 y f (x) 在某些离散点上的
函数试构造一个次数不超过n的插值多项式
P n (x ) a 0 a 1 x a n x n 使之满足条件
Pn(xi)yi i = 0, 1, 2,…, n
要求：无重合节点，即 i j xi xj
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一次Lagrange插值多项式(1)
已知函数 y f (x)在点 x 0 , x 1 上的值为 y 0 , y 1 ，要 求多项式y p1(x)，使 p1(x0) y0，p1(x1) y1。其几何意 义，就是通过两点 A(x0,y0),B(x1,y1) 的一条直线， 如图所示。