2021-2021学年吉林省松原市扶余一中高二〔上〕期末数学试卷〔文科〕
一、〔共60分，每题5分〕
1．〔5分〕下表是与之间的一组数据，那么关于的回归直线必过〔〕
0123
1357
A．点〔2，2〕B．点〔，2〕C．点〔1，2〕D．点〔，4〕
2．〔5分〕i是虚数单位，复数=〔〕
A．2﹣i B．2i C．﹣1﹣2i D．﹣12i
3．〔5分〕命题：1 1111111 0 点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有n个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为〔〕
A． B． C． D．
12．〔5分〕类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等〞的性质，可推出正四面体的以下哪些性质，你认为比拟恰当的是〔〕
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．①③B．②③C．①②D．①②③
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共2021正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效〕
13．〔5分〕对于回归直线方程=257，当=28时，的估计值为．
14．〔5分〕我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形〔如图〕．
由此可推得第n个正方形数是．
15．〔5分〕方程表示双曲线，那么λ的取值范围为．
16．〔5分〕设实数a、b、c满足abc=1，那么a、b、c中至少有一个数不小于．〔填具体数字〕
三、解答题：〔共70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．〔10分〕1=0有两个不相等的负实数根；q：方程424〔m﹣2〕1=0无实数根．假设的取值范围．
18．〔12分〕甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
优秀不优秀
甲班1035
乙班738
根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与班级有关系？
附：
点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有n个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为〔〕
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，设正方形的边长为2a，
那么该正方形的内切圆的半径为a，
∴≈，
解得π≈．
应选：C．
12．〔5分〕类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等〞的性质，可推出正四面体的以下哪些
性质，你认为比拟恰当的是〔〕
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．①③B．②③C．①②D．①②③
【解答】解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：
由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；
由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；
由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；
或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，
故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等〞的性质，推断：
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
都是恰当的
应选D．
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共2021正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效〕
13．〔5分〕对于回归直线方程=257，当=28时，的估计值为390．
【解答】解：∵回归方程．
∴当=28时，的估计值是×28257=390
故答案为：390
14．〔5分〕我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形〔如图〕．
由此可推得第n个正方形数是n2．
【解答】解：∵12=1，22=4，32=9，
∴第n个正方形数就是n2．
故答案为：n2
15．〔5分〕方程表示双曲线，那么λ的取值范围为〔﹣∞，﹣2〕∪〔﹣1，∞〕．
【解答】解：由题意知〔2λ〕〔1λ〕＞0，
解得λ＞﹣1或λ＜﹣2．
故λ的范围是λ＞﹣1或λ＜﹣2．
故答案为：〔﹣∞，﹣2〕∪〔﹣1，∞〕
16．〔5分〕设实数a、b、c满足abc=1，那么a、b、c中至少有一个数不小于．〔填具体数字〕【解答】解：假设a、b、c都大于，那么abc＞1，这与abc=1矛盾．
假设a、b、c都小于，那么abc＜1，这与abc=1矛盾．
故a、b、c中至少有一个数不小于．
故答案为：．
三、解答题：〔共70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤〕
17．〔10分〕1=0有两个不相等的负实数根；q：方程424〔m﹣2〕1=0无实数根．假设的取值范围．
【解答】解：∵1=0有两个不相等的负实数根，
∴，解得m＞2．
∵q：方程424〔m﹣2〕1=0无实数根，
∴△=16〔m﹣2〕2﹣4×4＜0，解得1＜m＜3．
∵≤2．
∴m的取值范围是1＜m≤2．
18．〔12分〕甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
优秀不优秀
甲班1035
乙班738
根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与班级有关系？
附：
〔2，1〕引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程．
【解答】解：设直线与椭圆的交点为A〔1，1〕、B〔2，2〕，
∵M〔2，1〕为AB的中点，∴12=4，12=2．
又A、B两点在椭圆上，
那么，．
两式相减得〔12〕〔1﹣2〕4〔12〕〔1﹣2〕=0．
∴，即AB=﹣．
故所求直线方程为2﹣4=0．
202112分〕求证：．
【解答】证明：方法一：〔综合法〕因为42＞40，所以，
即，
所以，
即，
方法二〔分析法〕，
要证：，
即证＞2，
即证，
即证以，
即证＞，
即证42＞40，显然成立，
故
21．〔12分〕为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月
1号到5号每天打篮球时间〔单位：小时〕与当天投篮命中率之间的关系：
时间12345
命中率
小李这5天的平均投篮命中率；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
附：线性回归方程中系数计算公式，．
【解答】解：根据表中数据，计算=×〔12345〕=3，
=×〔〕=；
那么===，
=﹣=﹣×3=，
所以线性回归方程为：=；
利用回归方程计算=6时，=×6=，
即预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．
22．〔12分〕中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1、F2，且F1F2=2，椭圆的长半轴长与双曲线实际轴长之差为4，离心率之比为3：7．
〔1〕求这两曲线方程；
〔2〕假设P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．
【解答】解：〔1〕由题意知，半焦距c=，设椭圆长半轴为a，那么双曲线实半轴a﹣4，
离心率之比为=，解得a=7，
∴椭圆的短半轴长等于，
双曲线虚半轴的长为，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：和；
〔2〕由椭圆的定义得：PF1 PF2=2a=14，
由双曲线的定义得：PF1﹣PF2=6，
∴PF1=10，PF2=4，
又F1F2=2，在三角形F1PF2中，利用余弦定理得：=10016﹣80co∠F1PF2，
∴co∠F1PF2=，那么in．
∴==．。