吉林省扶余市第一中学2024年高三4月大联考数学试题理试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或52．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．03．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177- B ．717- C ．177 D ．7174．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．86．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间B ．3阶区间C ．4阶区间D ．5阶区间8．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ） A ．3B ．10C ．23D ．59．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．3211．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．2-B ．2C ．43-D ．4312．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．14．集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2；②a ；③a 的值可以为2+；15．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______．16．在平面直角坐标系xOy 中，圆()()222:0C x m y r m -+=>.已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D .若AB OD =，则直线1l 的斜率为_____________. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．18．（12分）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．19．（12分）已知0a >，函数()|||26|f x x a x =++-有最小值7. （1）求a 的值；（2）设,0m n >，4m n a +=，求证：11918m n +≥+. 20．（12分）已知f (x )=|x +3|-|x -2| （1）求函数f (x )的最大值m ；（2）正数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求证：12336.5a b c ++≥ 21．（12分）已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，当(1,)x ∈+∞时，有()0f x >，且(2)1f =.（1）求不等式(4)(1)2f t f t --<的解集；（2）对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22sin 52(62)44f x x a f a ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面,,ABCD E F分别是,AD CD 的中点.（1）证明:BD ⊥平面PEF（2）若60BAD ︒∠=，求二面角B PD A --的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解题分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【题目详解】 由于22ba=2b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【题目点拨】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题. 2．B 【解题分析】根据题意可得)0b b -⋅=，利用向量的数量积即可求解夹角. 【题目详解】因为)(2)0b b a b b -⊥⇒-⋅=2||b b ⋅= 而22cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅ 所以,a b 夹角为4π故选：B 【题目点拨】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 3．B 【解题分析】由θ是第二象限角且sin θ =1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒．4．D【解题分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n na =-+，解不等式求得结果. 【题目详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n na n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D.该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 5．A 【解题分析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；利用定义可证明函数()f x 的单调性，由赋值法即可求得函数()f x 在[]1,16上的最大值. 【题目详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，则()()m f f n f m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<， 故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 令1mx ，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4. 故选：A. 【题目点拨】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题. 6．B设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可. 【题目详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则233O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭，当且仅当6x =123S =故选：B. 【题目点拨】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 7．D 【解题分析】可判断函数为奇函数，先讨论当0x >且1x ≠时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解 【题目详解】当0x >且1x ≠时，()()2ln 1ln x f x x -'=.令()0f x '=得x e =.可得()f x '和()f x 的变化情况如下表：x0x →()0,1()1,ee(),e +∞()f x '/--+()f x ()0f x →e令()f x t =，则原不等式变为()3f t ≤-，由图像知()3f t ≤-的解集为(]()[)123,,1,1t t t t ∈-∞-，再次由图像得到()[)[)123(],,1,1f x t t t ∈-∞-的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.故选：D 【题目点拨】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题 8．B 【解题分析】先求出a b +，再利用()0a a b ⋅+=求出t ，再求b . 【题目详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+ 由()a ab ⊥+，所以()0a a b ⋅+=()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-，10=b故选：B 【题目点拨】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 9．D结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【题目详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【题目点拨】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 10．A 【解题分析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A. 11．A 【解题分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解. 【题目详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >，由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-， 所以015PM x =+=，解得04x =， 把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，04y =±，因为00y >，所以04y =，所以点M 坐标为()1,4-， 代入斜率公式可得，40211MF k -==---. 故选：A 【题目点拨】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题. 12．D根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【题目详解】由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b == 则22212125a bi i +=+=+= 故选：D 【题目点拨】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。