思维导图解析式的3个特征4.2指数函数函麹=於（心0且厂1）叫做指数函数，其中乂是白变最齐为大于0且不等于攵.留霧希缓蠶在槪比且册系数杲.指数函数尸h a>L0<zKlr r图象..曲必…心\ (OJ)r=1JTLX1 勺O 1 X定义域R值域（a 十8）过定点（0,1）当Q0时.y>h当xX)时.0<Xl：性质当K0 时.(KX1 当K0时，y>l在（一E, 4 G上鳧增函花（一E, 4-E）上是减ft 曲数奇偶性1F奇『偶函数非奇苗偶函数指数函数的判断指数函数的性质运用同底找单调性图像法：扌皺函数底大图高杵差作商法特殊值二找-2等运用一指数函数判断【例1］（1）函数/•（刃=（九2一九一1）分是指数函数，则实数祝=（）A・2 B・1 C・3 D・2或一1（2）函数尸（3^53+5）沪是指数函数，则有（）A・a=l或a=4 B・a=l C・a=4 D・a>0,且呼1【答案】（1） D （2） C【解析】（l）由指数函数的定义，得m2-m-l=l,解得m = 2或一1,故选D./ — 5a + 5 = 1(2) •••函数尸(a2-5a+5) 是指数函数，二«>0 ，解得a=4・故选C・a 1【触类旁通】L下列函数是指数函数的是（）A. y = n xB. y = x2C. y = —2XD. y = 2x【答案】A【解析】根据指数函数的泄义：形如y = k（a> 1且aHl）的函数叫做指数函数，A中歹=十符合指数函数的怎义，是指数函数：B中，y = %2符合指数函数的左义，不是指数函数：C中，y = —2"不符合指数函数的圮义，系数为-1，不是指数函数：D中，y = 2^不符合指数函数的定义，不是指数函数.故选A.2.若函数f（x） = （a? _ 2a — 2）• a”是指数函数，贝％的值是（）A. —1B. 3C. 3或—1D. 2【答案】B【解析】根据指数函数的立义：形如y = a”（a> 1且a工1）的函数叫做指数函数，根据这一沱义得到函数(a2— 2a — 2 = 1f (%) = (a? - 2a —2)・a*是指数函数> Aj a > 0 >解得a=3・故选B・( a工1运用二定义域值域【例2】(1)函数的泄义域是(一oo, 0],则a的取值范围为()A. a>0B. a<lC. 0<aVlD.辱1(2)若2「+】 < (扌)”7,则函数y = 2”的值域是()A.右,2) B 扌厨C(一8,弓 D.[2, +oo)(3)设a>0,且府1,函数y=^4-2^-1在[一1, 1]上的最大值是14,则实数a的值为_______________ .【答案】(1) C (2) B (3)丄或33【解析】(1)要使函数，=后=T(a> 0且a = l)有意义，则a" — 1 > 0，即a x> 1 = a0,当a > 1时，x > 0：当0 V a V 1时，x <0.因为y =后=1的泄义域为(-co, 0]所以可得0 V a V 1符合题意，•••a的取值范用为0 VaVl,故选C.(2)将2录+1 < (扌)"7化为F + 1 < -2(%-2),即X2 + 2%-3 < 0,解得x G [-3,1]»所以2一3 < 2X< 21, 所以函数y = 2乂的值域是[i,2].故选C.(3 )令r=a\a>0,且辱1),则原函数化为y =代)=(r +1严一2(r>0).①当gvi, h 1]时，t=d K^[a.丄].a此时代)在["丄1上为增函数.a所以代加xj丄=丄+ 1] 2 = 14.3丿U/(1 \2 1 1所以一 + 1 =16,解得a=-(舍去)或a=F・\a y 5 3②当a>l 时，xG[ 1, 1], r=a v G[丄，a].此时代）在[丄，a}m伽数.所以/（『）沖=皿=3+1）2—2=14，解得a=3或幺=一5（金公）.综上得a a=丄或3.3【触类旁通】1.（2019浙江期中）已知函数y = 二方定义域为R ,则实数d的取值范囤是 ____________ .【答案】</<0【解析】丁函数的定义域为R，则2r-«>Ofe成立，即a<2x恒成立，•.•2v>0, :.a<0,故答案为：“SO2.（2018浙江学军中学高一期中）已知f（x） = 73?+2ax-a-l的泄义域为R，则实数a的取值范用是_____ . 【答案】[-1, 0]【解析】T/CO =丁3*心~_1的定义域为R, 3?+2—*_1> 0对任惫WR恒成立，即3宀2心虫> 1 = 3。

恒成立，即x2+2ax -处0对任意xwR恒成立，•••△=4°2+仕0,则-l<a<0.故答案为:[・1, 0].3.（2019•贵州高一期末）若函数y = y]6 + x-x2的左义域为A，则函数y = 4v-2v+，UeA）的值域为【答案】[-1,48]【解析】由6+ X-X2^0,得尤一6冬0，(x —3)(x + 2)W0,4令2“=八则y = r-2r = (r-l)2-l,•••当/ = 1 时，J min=-1：当7=8时,y max = 48 .故答案为:[-1,48]4.39•石嘴山市第三中学月考)函数T勺的值域为—【答案】(0, 2]【解析】由题意，设r = x2-2x = (x-l)2-l>-l,乂山描数F林y = (*)'为单调递减函数，it>-l时，0vy<2, 即函数y = (-)'2-2v的值域为(0,2].2运用三单调性判断及运用【例3】(1)若f (x) = (2a-l) *是增函数，那么a的取值范弗|为A・a<| B・ |<a<l C. a>l D. a>l(2)已知d=0.77® i=1.20-77, c=7u°,则 e b, c 的大小关系是( )A・a<b<c B・c<b<a C・a<c<b D・c<a<b⑶不等式® -2+-<(|) 2十-2恒成立，则a的取值范围是________【答案】(1) C (2) C (3) (-2,2)【解析】(1)由题意2a«l>l=>a>l,应选答案C o(2) <7=0.77120<a<h Z>=1.2O77>1, c=7T°=b 则a<c<b.(3)由指数函数的性质知v=(0T是减函数，因为®x3+ax<(0 2x+a_2恒成立，所以x2-\-ax>2x-\-a—2恒成立，所以x?+(a —2)x—a+2>0 恒成立.所以△=«—2尸一4(一a+2)<0,即(a-2)(a—2+4)<0,即(。

一2)@+2)<0,故有一2<a<2.即a的取值范围是(-2,2).【思路总结】1 •指数函数性质记忆口诀指数增减要看淸，抓住底数不放松：反正底数大于0,不等于1已表明：底数若是大于1,图象从下往上增：底数0到1之间，图象从上往下减：无论函数增和减，图象都过(0,1)点.2.比较幫值大小的三种类型及处理方法【触类旁通】2■一％r < n1 •设函数门刃二'一，则满足+ (加)的x的取值范围是( )1, x>0A.(-CO r - 1]B.(O r +s) c.(-l , 0) D.(-» , 0)【答案】D【解析】作岀函= /(%)的图象如下图所示：由图象可知，函数y = 在区间(—go)上单调递减，在[0,+8)为常值函数,由/(x + l)</(2%), W{X2x<O X * 解得XV °，因此，实数兀的取值范用是(一8,0),故选：D.2.比较下列各题中两个值的大小:(1)0) 18与G)F： (2)(1) 05与£) 05：(3)0.2。

3 与03°2.【答案】见解析【解析】(1)因为0今VI,所以函数y=(|>在苴左义域R上单调递减，又一1.8>—2.5,所以(号)"<0)"(2)在冋一平而直角坐标系中画出指数函数y=(|｝与，=(扌)丫的图象，如图所示.当，=一0.5时，由图象观⑶因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=Q.2x与_｝，=0.3乂在左义域R上均是减函数，且在区间(0, +s)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方，所以0.202<0302.又根据指数函数y=Q.2x的性质可得0.2°3<0.2°2,所以0.2°3<0.3°2.3.(1)解不等式(|)?_2<3：⑵已知(H+2a+3户>&+2幺+ 3)宀，求x的取值范用.【答案】见解析【解析】(1)(寻'up I)宀2=32",...原不等式等价于32~?<3\'：v=3x是R 上的增函数,.•.2-x2<l..\x2>l,即也或A<-1.・••原不等式的解集是｛X|X N1或疋一1｝.⑵Ta2+2a+3=(a+l)2+2>l,・"=3+24+3『在R 上是增函数.»QX, 解得站・・」的取值范用是寸諾 .运用四定点【例4] (1) (2018-疏勒县八一中学高二期末)已知函数= 的图象恒过立点A,则A的坐标为—•(2) (2019河北永淸县一中高二月考)对不同的(/>0且dHl,函数/(A)=6/4-2V+3必过一个泄点A,则点A的坐标是_____ .【答案】(1)(2,3) (2) (2,4)【解析】(1)令於2=0,所以x=2,把x=2代入函数的解析式得/(2) = n2-2+2 = 3. 所以函数的图像过左点A (2,3)-故答案为：(2,3)(2)根拯指数函数的图象恒过宦点(0, 1),令4-2x=0・ x=2, /.f(2) =。

°+3=4,••・点A的坐标是(2, 4).故答案为：(2, 4).【触类旁通】1.函数f (x) = aLi 一2(a > 0,a工1)的图象恒过定点A,若点A在直线— ny - 1 = 0.上，其中皿〉。