高中数学：概率总复习（例题、巩固练习、例题和巩固练习详解）【典型例题】要点一：随机事件与概率例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少? (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?举一反三：【变式1】若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐渐增大，有( )A .()n f 与某个常数相等B .()n f 与某个常数的差逐渐减小C .()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小D .()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定要点二：互斥事件与对立事件例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?举一反三：【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：.要点三：古典概型例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：(1)甲中奖的概率P(A)；(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；(3)只有乙中奖的概率P(C)；(4)乙中奖的概率P(D)．举一反三：【变式1】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.【变式2】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.要点四：几何概型例4、从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？举一反三：【变式1】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率．【变式2】已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+．(1)设集合P ＝{-1，1，2，3，4，5}和Q ＝{-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1，+∞)上是增函数的概率：(2)设点(a ，b)是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()f x 在区间[1，+∞)上是增函数的概率．【巩固练习】1．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对2．某校学生毕业后有回家待业，上大学和补习的三种方式，现取一个样本调查结果如图所示，若该校每一个学生上大学的概率为45，则每个学生补习的概率为( )A ．110 B ．225 C ．325D ．153．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4．8，4.85)(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.684．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A ．81 B ． 83 C ． 85 D ． 87 5．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）。

A ．101 B ．103 C ．21 D ．107 6．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49 B ．29 C ．23 D ．137．一条河上有一个渡口，每隔一小时有一趟渡船，河的上游还有一座桥，某人到这个渡口等候渡船，他准备等候20分钟，如果20分钟渡船不到，他就要绕到上游从桥上过河，则他乘船过河的概率为( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．238．任取一个三位数的正整数N ，则log 2N 为一个正整数的概率是( ) A ．1225 B ．1300 C ．1450D ．3899 9．广告法对插广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得到结论，他任意时间打开电视看该台节目，看不到广告的概率约为910，那么该台每小时约有_______分钟插播广告． 10．一次有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖券中奖的概率为________．11．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．12．2盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P1，…，第8个人摸出红球的概率是P8，则________．13．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：(1)计算表中优等品的各个频率．(2)该厂生产的电视机优等品的概率约是多少?14．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．(1)求事件“x+y≤3”的概率；(2)求事件“|x-y|＝2”的概率．15．如图所示，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在70 m外射箭，假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少?16．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率是0.19．(1)求x的值．(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在九年级抽取多少名?(3)已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生多的概率．数学试题答案【典型例题】要点一：随机事件与概率例1．【思路点拨】弄清频率和概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．【解析】(1)由表可知概率约为0.9；(2)估计击中靶心的次数为300×0.9＝270(次)．【总结升华】本题中利用概率知识估计击中靶心的次数是一种非常科学的决策方法．举一反三：【变式1】【答案】本题选D，根据概率的定义.要点二：互斥事件与对立事件例2．【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算．【解析】记“等候的人数为0”为事件A，“1人等候”为事件B，“2人等候”为事件C，“3人等候”为事件D，“4人等候”为事件E，“5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，∴ P(G)＝P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)＝0.1+0.16+0.3＝0.56．(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，∴ P(H)＝P(D+E+F)＝P(D)+P(E)+P(F)＝0.3+0.1+0.04＝0.44．【总结升华】第(2)问也可以这样解：因为G与H是对立事件，所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44．举一反三：【变式1】【答案】（1）0.37（2）0.55mm 【解析】(1)记这个地区的年降水量在[100,150)、[150,200)、[200,250)、[250,300)()A B C D，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水范围内分别为事件,,,mm范围内的概率是量在[100,200)()P A B P A P B+=+=+=()()()0.120.250.37mm范围内的概率是0.37.∴年降水量在[100,200)()mm范围内的概率是(2)年降水量在[150,300)()()()()()0.250.160.140.55P B C D P B P C P D ++=++=++=∴年降水量在[150,300)()mm 范围内的概率是0.55. 要点三：古典概型 例3．【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解． 【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为A 1，A 2，B 1，B 2，B 3，其中A 1，A 2为中奖券，则基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，A 1)，(B 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，A 1)，(B 2，A 2)，(B 2，B 1)，(B 2，B 3)，(B 3，A 1)，(B 3，A 2)，(B 3，B 1)，(B 3，B 2)，共20种．(1)若“甲中奖”，则有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共8种，故P(A)82205==． (2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(A 1，A 2)，(A 2，A 1)，共2种，所以P(B)＝212010=． (3)“只有乙中奖”的基本事件有(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共6种，故63()2010P C ==． (4)“乙中奖”的基本事件有(A 2，A 1)，(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(A l ，A 2)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共8种，故82()205P D ==． 【总结升华】1、利用古典概型的计算公式时应注意两点： (1)所有的基本事件必须是互斥的；(2)m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏.2、古典概型解题步骤： (1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件； (3)求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ； (4)用公式()mP A n=求出概率并下结论. 举一反三： 【变式1】 【答案】(Ⅰ)38 (Ⅱ)516【解析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为y x ,，用),(y x 表示抽取结果，则所有可能有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，共16种.(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2， ()2,1， ()2,3，()3,2， ()3,4， ()4,3，共6种. 故所求概率63168P ==. (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2， ()2,1， ()2,4， ()3,3， ()4,2，共5种. 故所求概率为516P =. 【变式2】 【答案】23【解析】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)和，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)]， 事件A 由4个基本事件组成，因而，P(A)=64=32. 要点四：几何概型例4、【思路点拨】此题中班车出发的时间与甲到达的时间都是随机的，设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件A 的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域.【解析】到达乙地的时间是9:30到10:00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9:45到10:15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x 轴表示班车到达乙地的时间，y 轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0.5的正方形.设“他能赶上车”为事件A ，则事件A 的条件是x y ≤，构成事件A 的区域为图中的阴影部分.由几何概型公式，得22210.50.252()0.8750.5P A -⨯==，即他能赶上车的概率为0.875.【总结升华】在概率问题中，与面积有关或可以转化为二维空间的，可以采取几何概型的方法去解决.直接与面积有关的，可直接计算，有时需要先进行转化成二维空间，然后利用几何概型.举一反三： 【变式1】【解析】设三条线段的长度分别为x ，y ，1-x-y ，则0101011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<--<⎩，，， 即0101x y x <<⎧⎨<<-+⎩，.在平面上建立如图所示的平面直角坐标系，直线x ＝0，y ＝0，y ＝-x+1围成如图所示三角形区域G(不包括边界)，每一对(x ，y)对应着G 内的点(x ，y)，由题意知，每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．三条线段能构成三角形，当且仅当111x y x y x x y y +>--⎧⎪->⎨⎪->⎩，，， 即121212y x x y ⎧>-+⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩，，. 因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”，容易求得g 的面积为18，G 的面积为12，则P(这三条线段能构成三角形)14g G ==的面积的面积． 【变式2】【思路点拨】(1)用古典概型的概率公式计算．(2)属于几何概型问题，用几何概型的知识求解．【解析】(1)∵ 函数2()41f x ax bx =-+的图像的对称轴为2bx a =，要使函数2()41f x ax bx =-+在区间[1，+∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且21ba≤，即2b ≤a ，a ＞0．若a ＝1，则b ＝-2，-1； 若a ＝2，则b ＝-2，-1，1； 若a ＝3，则b ＝-2，-1，1； 若a ＝4，则b ＝-2，-1，1，2； 若a ＝5，则b ＝-2，-1，1，2．∴ 满足条件的事件包含事件的个数是2+3+3+4+4＝16．∴ 所求事件的概率为164369=． (2)由(1)知，当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1，+∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80()00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，，，，构成所求事件的区域为如图所示阴影部分．由802a b ab +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，得交点坐标为16833⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴ 所求事件的概率为18812313882P ⨯⨯==⨯⨯． 【总结升华】几何概型的概率问题关键是数形结合，将问题转化成与长度、角度、面积、体积等相关的类型解决． 【巩固练习】 【答案与解析】 参考答案 1．【答案】B【解析】E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件． 2．【答案】C【解析】设某校毕业生的人数为x 人，则每个学生上大学的概率为8045x =，所以x ＝100，则补习生的人数为12人，所以每个学生补习的概率为12310025P ==． 3．【答案】C【解析】记事件A 、B 分别为“质量小于4.8 g ”与“质量在[4.8，4.85)(g)”，又记事件C 为“质量小于4.85 g ”，则C ＝A+B ，且A 与B 互斥，所以P(C)＝P(A+B)－P(A)+P(B)，即0.32＝0.3+P(A)，解得P(A)＝0.02． 4. 【答案】D【解析】至少一次正面朝上的对立事件的概率为31117,12888=-=5. 【答案】B【解析】能构成三角形的边长为(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三种，从这5条线段中任取3条共有10种取法，3()10A P A ==包含的基本事件的个数基本事件的总数。