① 利用某些已知条件求出随机变量的分布列或密度函数； ② 利用分布列或分布函数，求出某些事件的概率； ③ 利用分布列或密度函数，求出分布函数。
例 4．已知随机变量 X 的分布列如下，求 2 X − 1 和 X 2 的分布列。
3
X
-1
0
p
1
p
2
3
pk
2p
3p
3p
分析：显然这是离散型随机变量函数分布列的求解。 但求解前要先确定分 布列中的未知参数 p ，这可由分布列的性质（归一性）求解出来。 解：由归一性，即 ∑ pk = 1 ，知 2 p + p + p + 3 p + 3 p = 1 ，从而得 p = 0.1。 所
y ≥ 0, y <0. y ≥ 0, y <0.
⎧ ⎪ f ( y) + f X ( − y ) , fY ( y ) = FY′ ( y ) = ⎨ X ⎪ ⎩ 0,
1 ； (2) Y = X 。 X
分析：本题考查的是连续型随机变量函数的概率密度的计算。 解：(1)当 y > 0 时，
1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎞ FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = P ⎜ ≤ y ⎟ = P ⎜ ≤ 0 ⎟ + P ⎜ 0 < ≤ y ⎟ X ⎝X ⎠ ⎝X ⎠ ⎝ ⎠
注：(1)的计算用到连续型随机变量分布函数的连续性，此类题目较多，例 如试确定常数 a , b , c , d 的值，使函数
⎧a , ⎪ F ( x) = ⎨bx ln x + cx + d , ⎪d , ⎩ x < 1, 0 ≤ x ≤ e, x>e
为一连续型随机变量的分布函数。 这个问题中还要用到分布函数性质中两个重 要极限 F ( +∞ ) = lim F ( x ) = 1 ， F ( −∞ ) = lim F ( x ) = 0 。
k =1 ∞
以随机变量 X 的分布列为
X
-1 0.2
0 0.1
1 0.1
2 0.3
3 0.3
pk
X 取值为-1，0，1，2，3 时， 2 X − 1 取值为-1，0，1，3，5，从而 2 X − 1 的
分布列为
2 X −1
-1 0.20 0.11 0.13 0.3
5 0.3
pk
X 取值为-1，0，1，2，3 时， X 2 取值为 0，1，4，9，从而 X 2 的分布列为
x = 1 两点连续，有
x → 0−
lim F ( x) = lim− Ae x = A ， lim+ F ( x ) = lim+ B = B ，
x →0
x →0 x →0
可知 A = B 。 由
2
x →1
F ( x) = lim(1 − Ae− ( x −1) ) = 1 − A ， lim F ( x ) = lim B = B ， lim + + − −
∫
+∞
−∞
[ f 1 ( x) + f 2 ( x)]dx = ∫
+∞
−∞
f 1 ( x) dx + ∫
+∞
−∞
f 2 ( x) dx = 2 ≠ 1 ，
F1 (+∞) + F2 (+∞) = 1 + 1 = 2 ≠ 1 。 ⎧1 , − 2 < x < −1, ⎧1 , 0 < x < 1, ， f 2 ( x) = ⎨ ，则对任何 对于选项 B ，若 f 1 ( x) = ⎨ 其他； ⎩0 , ⎩0 , 其他.
x →+∞
F ( −∞ ) = lim F ( x ) = 0 。
x →−∞
由(3)即知
1 = F (∞) = aF1 (∞) − bF2 (∞) = a − b ， 这是因为 F1 ( x) 与 F2 ( x ) 分别
为随机变量 X 1 和 X 2 的分布函数，也应满足性质(3)。 由关系 a − b = 1 即可验证 只有选项 A 满足。 例 3．设连续型随机变量 X 的分布函数为
⎛ ⎛1⎞ 1⎞ = P ( X < 0 ) + P ⎜ X ≥ ⎟ = FX (0) + 1 − FX ⎜ ⎟ ； y⎠ ⎝ ⎝ y⎠
当 y < 0 时，
⎛1 ⎞ FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = P ⎜ ≤ y ⎟ ⎝X ⎠ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ = P ⎜ ≤ y且X >0 ⎟ + P ⎜ ≤ y且X < 0 ⎟ ⎝X ⎠ ⎝X ⎠
第二章 随机变量及其分布
例 1．设随机变量 X 的密度函数为 ϕ ( x) ，且 ϕ (− x) = ϕ ( x) 。 F ( x) 是 X 的分 布函数，则对任意实数 a ，有 （ A ） F (− a ) = 1 − ∫ ϕ ( x)dx
0 a
。
（ B ） F (− a) =
1 a − ϕ ( x)dx 2 ∫0
⎛1 ⎞ ⎛1⎞ = 0 + P ⎜ < X ≤ 0 ⎟ = FX (0) − FX ⎜ ⎟ ； ⎝y ⎠ ⎝ y⎠
⎛1 ⎞ 当 y = 0 时， FY (0) = P(Y ≤ 0) = P ⎜ ≤ 0 ⎟ = P ( X < 0 ) = FX (0) 。 ⎝X ⎠ ⎧ ⎛1⎞ ⎪ FX (0) + 1 − FX ⎜ ⎟ , ⎝ y⎠ ⎪ ⎪ FY ( y ) = ⎨ FX ( 0 ) , ⎪ ⎪F (0) − F ⎛ 1 ⎞ , ⎟ X X ⎜ ⎪ ⎝ y⎠ ⎩ ⎧1 ⎛1⎞ fX ⎜ ⎟, ⎪ 2 ′ fY ( y ) = FY ( y ) = ⎨ y ⎝ y⎠ ⎪ 0, ⎩ y > 0, y = 0, y < 0. y≠0 y=0
Y = tan X ，求 Y 的概率密度。
分析： 本例考查的是连续型随机变量函数的概率密度的计算， 给出的函数是 正切函数，显然是处处可导、严格单调的函数，符合定理 2-4 的条件，从而应用 定理即可求出。 解：由题设知随机变量 X 的概率密度为
⎧1 ⎪ , f X ( x) = ⎨ π ⎪ 0, ⎩ ⎡ π π⎤ x ∈ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ 其他.
例 2．设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度 分别为 f 1 ( x) 和 f 2 ( x) ， 分布函数分别为 F1 ( x) 和 F2 ( x) ， 则下列说法正确的是 （ A ） f 1 ( x) + f 2 ( x) 必为某一随机变量的概率密度。 （ B ） f 1 ( x) f 2 ( x) 必为某一随机变量的概率密度。 （ C ） F1 ( x) + F2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数。 （ D ） F1 ( x) F2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数。 分析：显然这是考察随机变量的概率密度以及分布函数的性质及其构成要 素。 解：首先可否定选项 A 与 C ，因 。
1
x ∈ (−∞ , + ∞) ， f 1 ( x) f 2 ( x) ≡ 0 ， ∫
综上分析，用排除法应选 D 。
+∞
−∞
f 1 ( x) f 2 ( x)dx = 0 ≠ 1 ，因此也应否定选项 B 。
则X 的 而 X i ~ f i ( x) , i = 1, 2 ， 注： 进一步分析可知， 若令 X = max( X 1 , X 2 ) ， 分布函数 F ( x) 恰是 F1 ( x) F2 ( x ) 。 F ( x) = P{max( X 1 , X 2 ) ≤ x} = P{ X 1 ≤ x , X 2 ≤ x} = P{ X 1 ≤ x} P{ X 2 ≤ x} = F1 ( x) F2 ( x) 。 另外，关于分布函数的题目还常出现的有 设 F1 ( x) 与 F2 ( x ) 分 别 为 随 机 变 量 X 1 和 X 2 的 分 布 函 数 ， 为 使 F ( x) = aF1 ( x) − bF2 ( x) 是某一随机变量的分布函数，则下列给定的各组数值中应 取 。
−∞ +∞ a
a
而 ∫ ϕ ( x)dx = 1 ，所以
−∞
+∞
1 = ∫ ϕ ( x)dx + ∫ ϕ ( x)dx + ∫ ϕ ( x)dx + ∫ ϕ ( x) dx
−∞ −a 0 a
−a
0
a
+∞
= 2 F (− a ) + 2 ∫ ϕ ( x)dx ，
0
a
从而得 F (−a) =
1 a − ϕ ( x)dx ，故应选 B 。 2 ∫0
所以，
从而，
(2) FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P ( X ≤ y ) ,
5
当 y <0 时， FY ( y ) = 0 ； 当 y ≥ 0 时， FY ( y ) = P(− y ≤ X ≤ y) = FX ( y) − FX (− y) 故，
⎧ ⎪ F ( y ) − FX ( − y ) , FY ( y ) = ⎨ X ⎪ ⎩ 0,
（ C ） F (−a) = F (a) 解决问题。
（ D ） F (−a) = 2 F (a) − 1
分析：利用分布函数、密度函数的性质，以及分布函数与密度函数的关系
−a 令x =− t +∞
解： F (− a ) = ∫ ϕ ( x)dx = − ∫ ϕ (t )dt = ∫ ϕ ( x)dx ，
x →1
x →1
x →1
可知 B = 1 − A 。 故有 A = B =
1 。 于是 2
x < 0, 0 ≤ x < 1, x ≥ 1.