完全平方公式与平方差公式
一．知识要点
1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
2 2
3
（1
（2
4
由（
由
5
（a+b
（a－
a n－
b n能被a－b整除,
a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二．例题精选
例1．已知x、y满足x2+y2+5
4
=2x+y,求代数式
xy
x y
的值。

例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。

例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.
甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是
2
a b
+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•
则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:
(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；
(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.
例5222()
例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492
-19502
+19512
-19522
+……+19972
-19982
+19992
=_________。

6．已知a+1
a
=5,则=422
1a a a ++=_____。

7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.
8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b
a b +-=_____.
9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:
(1)b 与c 两数必为一奇一偶；
(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选
例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13
例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,
(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•
10
x -=11x -=±10
x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差
值法：P -例7．
例8因(x 12
+x 22
+…+x 102
)-(y 12
+y 22
…+y 102
)=(x 12
-y 12
)+(x 22
-y 22
)+…+(x 102
-y 102
) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0
二．同步练习
9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,
故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.
(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,
于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。