平方差与完全平方公式教案与答案15.2.1 平方差公式知识导学1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。

典例解悟例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1)解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2(2)(-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。

其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。

例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8.解：原式=(x2-4y²)-(y2-4x²)=5x2-5y2.当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。

在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。

阶梯训练A级1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A.(-a-b)(a+b)B.(-a-b)(a-b)C.(-a+b)(a-b)D.(a+b)(a+b)2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（）A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a) C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a)3.下列各式计算正确的是（）A.（x+3）（x-3）=x2 -3B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -94．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________5. (23x+34y) (23x-34y) = _________6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________7.计算(-12x+13)(-12x-13) 8.（b³+3a2）（3a2-b³）；9.(23m+12n)(23m-12n) 10.（-3x2-4）（3x2-4）11.计算（a+3b）（a-3b）-（2b+5a）（-5a+2b）12.先化简下面的代数式，再求值：（a+2）(a-2)+a(4-a),其中+1B级1.下列式子可用平方差公式计算的是（）A.（a-b）（b-a）B.（-x+1）（x-1）C.（-a-b）（-a+b）D.（-x-1）(x+1)2. 4x2 -（2x-3y）（2x+3y）的计算结果是（）A. 9y2B. -9y2C. 3y2D. 2x2+3y23.(x+2)(x-2)(x2 +4)的计算结果是（）A. x4+16B. –x4-16C. x4-16D. 16-x44.（-a+1）（a+1）；5.(12x+13y)( 13y-12x)6.(a-12)(a+12)(a2+14)(a4+116)7.化简：（x-y）（x+y）+（x-y）+（x+y）8.解方程：(-4x-12)(12-4x)=2x(8x-15)C级求 (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的值15.2.2完全平方公式知识导学：1.完全平方公式：（a+b）2=a2+ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．2.公式中的a和b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。

利用完全平方公式运算，把握公式结构特征，正确找出公式中的a、b是解题的关键。

3.添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

典例解悟例1．（1）（1+x）2(2) (12a-b）2 ;(3) (-15x-110y)2(4) (2x+3y)(-2x-3y). 解：(1)（1+x）2 =x2 +2x+1.(2) (12a-b）2 =(12a)2-2×12a.b+b2=14a2-ab+b2(3) (-15x-110y)2=[-(15x+110y)]2=(15x)2+2×15x×1 10y+(110y)2=125x2+125xy+1100y2(4)（2x+3y）（-2x-3y）=-（2x+3y）2=-[（2x）2 +2·2x·3y+(3y)2]=-4x2 -12xy-9y2感悟：本题是套用完全平方公式的乘法运算，其中第（3）小题有两种解法，法一如解答所示，法二是直接运用公式，将-15x作为整体，运用两数差的完全平方公式计算；第（4）小题必须添上括号后，转化为完全平方的形式后再完全平方公式运算。

例2．计算：（1）（a-2b-3c）2 ；（2）（a+b-2c）（a+b+2c）解：1.（a-2b-3c）2 =[a-（2b+3c）]2 =a2-2a（2b+3c）+（2b+3c）2=a2 -4ab-6ac+[（2b）2 +2×2b×3c+（3c）2 ]=a2 +4b2 +9c2 -4ab-6ac+12bc；(2)（a+b-2c）（a+b+2c）=[（a+b）-2c][(a+b)+2c]=(a+b)2 –(2c)2 =a2 +2ab+b2 -4c2感悟：本题第（1）题通过添括号的方法转化为完全平方的形式，再计算。

第（2）题通过添括号的方法转化为平方差的形式，再计算。

阶梯训练A级1.下列各式中，计算正确的是（）A （2a+b）2=4a2+b2B (m-n)2=m2-n2C (-5x+2y)2=25x2-10xy+4y2D (-x-y)2=x2+2xy+y22.下列各式中，运算结果为1-2xy2+x2y4的是（）A （-1-x2y2）2B (-1+xy2)2C (1-x2y2)2D (-1-xy2)23.计算（a+2b）2+(a-2b)2的结果是（）A 2a2B 4b2C 2a2-8b2D 2a2+8b24.若（x+m）2=x2+nx+9,则m=_________,n=_________.5.计算（2a+1）2(2a-1)2=____________6.若a2+b2=5,ab=2,则(a+b)2=_________.7. (-x+2y)2 8. (2x-y)29. (3b-13a)210. (-2x-3y)211. (2x+y-1)212. (x+y)2-(x-y)2B级1.计算（x+3）(x-3)(x2-9)的结果是（）A x4-81B x4+18x2+81C x4-81D x4-18x2+812.化简(a+1)2-(a-1)2,得（）A 2B 4C 4aD 2a2+23.下列各式中，不能成立的是（）A (3a-2b)2=9a2-12ab+4b2B (a+b-c)2=(c-a-b)2C (12x-y)2=14x2-xy+y2 D(x+y)(x-y)(x2-y2)=x4-y44.a2+b2=(a+b)2+_________ a2+b2=(a-b)2+_________5.m2-(_________)+116n2=(__________________)26.(5x-_________)2=_________-_________+16y27.计算：（3x-2）2(3x+2)28. (x-y)2-(y+2x)(y-2x)9.先化简:(2x-1)2+(x+2)(x-2)-4x(x-1)，再求值,其中10.已知x2-4=0,求x(x+1)2-x(x2+x)-x-7的值。

C级已知a+b=3,ab=-18,求13a2+13b2的值。

附录参考答案： 15.2.1 平方差公式 阶梯训练 A 级1. B2. D3. D4.0.09x 2-0.01 5. 49x 2-916y26.25n 2-9m 27.14x 2-198. 9a 4-b 69.24m 9-21n 410. 4169x - 11.原式=a 2-9b 2-(4b 2-25a 2)=26a 2-13b 2 12.解：原式=a 2-4+4a-a 2=4a-4 当+1时，原式=4+1）B 级1.C2. A3. C4.1-a 25. 221194yx - 6.81256a -7.原式=222xy x-+8.解：2212161645xx x -=-1245x -=-∴58x =C 级 原式=24816(3-1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)3-1=224816(3-1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)3-1=323-1215.2.2完全平方公式 阶梯训练 A 级1.D2.B3.D4.3,65. 提示：先用平方差公式，再用完全平方公式。

原式= 4216a 81a -+ 6. 97.2244y xy x -+ 8. 2244x xy y -+ 9.221929b ab a -+ 10.224129x xy y ++11. 2244421x y xy x y ++--+12. 4xyB 级1.D2.C3.D4. -2ab,2ab5.12mn ,14m n- 6. 4y,225x ,40xy7. 42817216x x -+8.252x xy-9.解：原式= 222441444x x x x x-++--+=23x - 当x ==2-3=3-3=0 10.解：原式=22(21)()7x x x x x x x ++-+--=27x =-当x 2-4=0时，原式=4-7=-3 C 级 解：原式= 2222111()[()2][32(18)]15333a b a b ab +=+-=-⨯-=。