第七章 概率统计模型 第一讲 遗传模型（2课时）教学目的掌握概率统计模型。
教学内容运用概率统计模型方法建立遗传模型及随机存储模型并求解。
模型Ⅰ 遗传模型1．模型背景与问题提出所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考虑的遗传特征是由两个基因A 和B 控制的，那么就有三种可能的基因型：AA ，AB 和BB 。
例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB 型的开粉花，而BB 型的开白花.这里的AA 型和AB 型表示了同一外部特征(红色)，则人们认为基因A 支配基因B ，也说成基因B 对于A 是隐性的。
当一个亲体的基因型为AB ，另一个亲体的基因型为BB ，那么后代便可从BB 型中得到基因B ，从AB 型中得到A 或B ，且是等可能性地得到。
问题：某植物园中一种植物的基因型为AA ，AB 和BB.现计划采用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况。
2．模型假设（1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A 或B 是等可能的,即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表1。
(2) 以n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中基因型为AA ，AB 和BB 的植物总数的百分率，)(n x 表示第n 代植物的基因型分布，即有,)(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n c b a x ,2,1,0=n (1) 特别当n =0时，T c b a x ),,(000)0(=表示植物基因型的初始分布(培育开始时所选取各种基因型分布)，显然有.1000=++c b a3．模型建立注意到原问题是采用AA 型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列。
首先考虑第n 代中的AA 型，按上表所给数据，第n 代AA 型所占百分率为1110211---⋅+⋅+⋅=n n n n c b a a 即第n-1代的AA 与AA 型结合全部进入第n 代的AA 型，第n -1代的AB 型与AA 型结合只有一半进入第n 代AA 型，第n -1代的BB 型与AA 型结合没有一个成为AA 型而进入第n 代AA 型，故有1121--+=n n n b a a (2)同理，第n 代的AB 型和BB 型所占有比率分别为1121--+=n n n c b b (3)0=n c (4)将(2)、(3)、(4) 式联立，并用矩阵形式表示，得到,)1()(-=n n Mx x),2,1( =n (5)其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00012/1002/11M利用(5)进行递推，便可获得第n 代基因型分布的数学模型)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====-- (6)(6)式明确表示了历代基因型分布均可由初始分布)0(x 与矩阵M 确定。
4．模型求解这里的关键是计算nM .为计算简便，将M 对角化，即求出可逆阵P ，使Λ=-MP P 1，即有1-Λ=P P M从而可计算 1-Λ=P P M nn),2,1( =n其中Λ为对角阵，其对角元素为M 的特征值，P 为M 的特征值所对应的特征向量。
分别为,11=λ 212=λ，03=λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121,011,001321p p p故有1100210111,0211-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ΛP P 即得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1002101110211100210111nn M ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--00021210211211111n n n n 于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--00011)(000212102112111c b a c b a x n nn nn n n n或写为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=--=--0)21()21()21()21(1010010n n n n n n nc c b b c b a 由上式可见，当∞→n 时，有0,0,1→→→n n n c b a即当繁殖代数很大时，所培育出的植物基本上呈现的是AA 型，AB 型的极少，BB 型不存在。
5．模型分析（1）完全类似地，可以选用AB 型和BB 型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果.特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第1、4、6列数据使用类似模型及解法而得到以下结果：000021,0,,21b c c b b a a n n n +→→+→这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因AA 与BB ，而AB 消失了。
（2）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵n 次幂的计算问题，可算得上高等代数方法应用于解决实际的一个范例。
模型Ⅱ 随机存储模型1．模型背景与问题提出存储问题的数学模型涉及以下的主要经济变量：1．需求量：某种物资在单位时间内的需求量，以D 表示，如年需求量、月需求量、日需求量。
需求量有时是常量，而在许多情况下则是随机变量，这时它的变化规律应当是能够掌握的。
对需求量进行科学地预测和估计是解决存储问题的重要依据。
2．批量：为补充存储而供应一批物资的数量称为批量，以Q 表示.由外部订货供应的批量称为订货批量；由内部生产供应的批量称为生产批量。
3． 货点；为补充存储而发生订货时的存储水平，以R 表示。
4．备运期：发生订货的时间与实际收到订货入库的时间的间隔。
5．存储费：保管存货的费用，包括存储所占用资金的利息、仓库和场地费用、物资的存储损耗费用、物资的税金、保险费用等，以1C 表示。
6．订货费：为补充存储而订货所支付的费用，包括准备和发出订货单的费用、货物的堆放和装运的费用等，以K 表示。
7．缺货损失费：发生需求时，存储不能提供而引起的费用，包括利润的损失、信誉的损失、停工待料的损失以及没有履行交货合同的罚款等，以2C 表示。
存储费、订货费和缺货损失费构成了库存的总费用，即总费用=存储费+订货费+缺货损失费. 使总费用最小是建立和求解存储模型的主要目标。
为实现该目标，需要确定批量和订货点，这就是所谓存储决策.批量与订货点即决策变量.因而存储模型的主要形式有：总费用=f （批量）或总费用=f （批量，订货点），即F=f （Q ）或F=f （Q ，R ）。
为了更具体理解随机性存储模型，先来看一个具体实例。
2．报童问题报童每日早晨从报社以每份报纸0.30元的批发价购得当日的日报，然后以每份0.45元的零售价售出。
若卖不完，则每份报纸的积压损失费为0.30元；若不够卖，则缺一份报纸造成潜在损失的缺货损失费为0.15元。
该报童对以往的销量作了连续一个月的统计，其记录如表2所示。
表2 销量统计那么，报童每日应订多少份报纸，才能使总损失费最小？假定报童每日订报Q 份，并设当日需求量为D ，则 当D Q ≥时，积压损失费为)(30.0D Q F -=； 当D Q <时，缺货损失费为)(15.0Q D F -=. 于是可以将报童订报的决策与相应的总费用如表3所示从表中可看出，当报童每日订报130份时，平均损失费用最小，最小损失总费用为2.1元。
下面建立这一报童问题模型的数学解析式，用求极值的方法求解最小损失总费用。
设平均总费用为)(Q TF ，则∑∑≤>-+-=QD QD D P Q D D P D Q Q TF )()(15.0)()(30.0)(. （7）为求使)(Q TF 最小的Q 值，解下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤--.0)()(0)()(d Q TF Q TF d Q TF Q TF 其中 ,10|}{|min =-=≠D Q d DQ 且 }.160,150,140,130,120{=∈±S d Q 上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-∑∑∑∑≤>-≤->Q D Q D d Q D dQ D D P D P D P D P .0)(15.0)(30.00)(15.0)(30.0 即⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅+≤-⋅+∑∑≤-≤Q D dQ D D P D P .015.0)()15.030.0(015.0)()15.030.0( 故∑∑≤-≤≤≤QD dQ D D P D P ).(31)( （8） 亦即).()120(3333.0)()120(Q P P d Q P P ++≤≤-++由于 130,35.0)130()120(15.0)120(==+=Q P P P 因此且。
可以看到，上述结果与通过列表得到的结果是一致的。
报童问题是一个离散型问题.若考虑相应的连续型问题，则总费用公式为⎰⎰+∞---=Q Qx d x P Q x x d x P x Q Q TF 0).()()(15.0)()()(30.0)(这里，)(x P 为一定时期内销售量的概率密度.为求总费用的最小值，令.0)(=dQQ dTF 得⎰=-+Qx d x P 0.015.0)()()15.030.0(于是.31)()(*⎰=Q x d x P问题的关键成为如何从这个积分等式中求出*Q ，其求法通常用迭代法。
利用求极值的数学方法求解存储模型，这是解决存储问题的主要思路。
尤其对于连续型存储模型，用求极值的方法求解模型就显得更为有效和更为重要。
存储问题中的随机性主要由以下两个因素产生；第一，对物资的需求量经常发生随机波动；第二，订货的到达时间经常发生随机性的提前或推迟。
3．不允许缺货情形由于需求量是随机的，所以，可考虑其平均需求量，而且不允许缺货也只是指在一定置信度下的不允许缺货。
设D 为年平均需求，则类似于确定性存储的EOQ 模型，可得到相应的最佳批量*Q 如下：.21*C KDQ =（9）这里，K 为一次定购费，1C 为该种物资一个单位存储一年的费用。
为在一定置信度下对不缺货提供安全保证，可将安全库存量加到正常存货中以提供所希望达到的服务水平（即不缺货的概率）。
这时，有βσ+=l R . （10）式中，R 为订货点，σ和l 分别为备运期内的销售量L 的均值与均方差，β为安全库存系数，βσ为安全库存量。
安全库存系数β即为给定置信度α-1下的上100α百分位点，其值满足等式αβ=>)(X P ，可通过查概率分布表得到。
因此，订货策略为，当备运期大于零时，若存储量降低到R ，则以*Q 为订货量进行订货。
例6. 设某公司订购一种备件，一次订货费为60元，年平均需求量为500件，每件年存储费为40元，备运期8天，备运期中的销售量服从均值为15、均方差为2的正态分布.为使不缺货的概率达到99.9%且总费用最小，问订货点是多少，每次订多少件？注意到 D=500件/年，K=60元，1C =40元，则3940500602*≈⨯⨯=Q 件.根据不缺货的概率达到99.9%，查正态分布表得β=3，订货点为212315=⨯+=R 件。