勾股定理与翻折、动点专项练习讲义知识点：翻折【知识梳理】数学思想在勾股定理翻折的应用方程的思想：是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。
要善用方程和方程组观点来观察处理问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
在勾股定理翻折问题中，直角三角形，将无法已知两边求第三边时，采用间接求法：找出题中存在的等量关系，运用勾股定理列方程。
常见的三角形和长方形的翻折模型：转化的思想：化归思想也称转化思想，“化归”就是转化和归结，它是解决数学问题的一种基本方法。
在解决数学问题时，人们常常将需要解决的数学问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易的或者已经解决了的问题，以实现问题的解答，主要体现为化繁为简、化难为易、化未知为已知等，它是解决问题的一种基本方法。
在勾股定理最值问题中，求立体图形上两点最值，一般都是将立体图形展开成平面图形，再利用“两点之间距离最短”的方法解决。
【例题精讲】题型一：三角形中的翻折问题例1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=9cm，BC=12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？【思路切入】利用勾股定理列式求出AB，根据翻折的性质可得AE=AC，DE=CD，∠AED=∠C=90°，然后求出BE，再设CD=x，表示出BD，在Rt△BDE中，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵两直角边AC=9cm，BC=12cm，∴根据勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√92+122=15cm，∵将直角边AC沿直线AD折叠，落在斜边AB上，且与AE重合，∴AE=AC=9cm，DE=CD，∠AED=∠C=90°，∴BE=AB﹣AE=15﹣9=6cm，设CD=x，则BD=（12﹣x）cm，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即x2+62=（12﹣x）2，解得x=9，2即CD的长为9cm．2【变式练习】如图，小将同学将一个直角三角形的纸片折叠，A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？【思路切入】连接BE，设CE=x，由折叠可知，AE=BE=10﹣x，把问题转化到Rt△BCE中，使用勾股定理．【解答】解：连接BE，设CE=x∵将直角三角形的纸片折叠，A与B重合，折痕为DE∴DE是AB的垂直平分线∴AE=BE=10﹣x在Rt△BCE中BE2=CE2+BC2即（10﹣x）2=x2+62，解之得x=165即CE=16cm．5例2. 翻折前后图形的性质：对应线段相等、对应角相等、对应图形全等三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积．【思路切入】要求三角形ACE的面积，则必须求得一边及对应的高，由已知的条件及折叠的性质，根据勾股定理很容易求得．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10，BC=5；∴BD=CD=12在Rt△ACD中AC=13，CD=5，用勾股定理，AD=√AC2−CD2=√132−52=12；由对折性质知△CDE≌△CFE，∴CF=CD=5DE=EF，∴AF=13﹣5=8；设DE=x=EF ，则AE=12﹣x ，在Rt △AEF 中，由勾股定理AE 2=EF 2+AF 2（12﹣x ）2=x 2+82144﹣24x+x 2=x 2+6424x=80x=103， ∴S △ACE =12AC•EF=12×13×103=653；答：三角形ACE 的面积是653平方单位． 【分析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，注意思维要围绕折叠的性质．【变式练习】1、如图是一块四边形木板，其中AB ＝16cm ，BC ＝24cm ，CD ＝9cm ，AD ＝25cm ，∠B ＝∠C ＝90°．李师傅找到BC 边的中点P ，连接AP ，DP ，发现△APD 是直角三角形，请你通过计算说明理由．【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：∵点P 为BC 中点，∴BP ＝CP =12BC ＝12（cm ），∵∠B ＝90°，在Rt △ABP 中，根据勾股定理可得：AB 2+BP 2＝AP 2，162+122＝AP 2，解得：AP ＝20（cm ），同理可得：DP ＝15（cm ），∵152+202＝252，∴AP 2+DP 2＝AD 2，∴△APD 是直角三角形，∠APD ＝90°．【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理和其逆定理解答． 长方形中的翻折问题例1. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为______ ．【答案】4.8【解析】【分析】首先证明三角形PDO 与三角形OEM 全等，得到PO=OM ，从而得到PE=DM=PA ，在设PA 为x ，在直角三角形CMB 中运用勾股定理解得x 的值即可.【详解】如图所示，EB 交DC 与点M.在三角形DOP 与三角形EOM 中D E DOP EOM DO OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则DOP EOM ≅(AAS)则PO=OM∴PO+OE=OM+OD即DM=PE又PE=AP∴DM=AP设AP=x ，则CM=DC-DM=8-x ，MB=EB-EM=AB-DP=8-(6-x)=2+x在直角三角形CMB 中222CM BC MB +=即()()2228-62x x +=+解得： 4.8x =则AP=4.8【点睛】本题考查了全等三角形的性质与勾股定理的运用，解题关键在于构造出直角三角形，根据全等对应边相等，折叠对应边相等得到边与边直接的关系，从而运用勾股定理建立等式求解.例2. 如图，长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为 cm 2．【答案】6【变式练习】1、折叠矩形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ， 求：（1）求CF 的长；（2）求EC 的长．【思路切入】（1）设CE=xcm ，EF=（8﹣x ）cm ，先在Rt △ABF 中利用勾股定理即可求得BF 的长，进一步得到CF 的长；（2）在Rt △ECF 中利用勾股定理即可求得EC 的长．【解答】解：（1）设CE=xcm ，EF=（8﹣x ）cm ，在Rt △ABF 中，BF=√102−82=6cm ，CF=10﹣6=4cm ．故CF 的长为4cm ；（2）在Rt△ECF中，EF2=CE2+CF2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3．故EC的长为3cm．知识点：动点问题例题精讲1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．E，F分别是AD，CD上的动点，EF＝2．Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ．则AP+PQ的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，DQ，则AP＝A'P，DQ＝EF＝1，当A'，P，Q，D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于A'D﹣DQ的长，求得A'D的长，即可得到AP+PQ的最小值．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，DQ，则AP＝A'P，DQ＝EF＝1，∴AP+PQ＝A'P+PQ，∴当A'，P，Q，D在同一直线上时，AP+PQ的最小值等于A'D﹣DQ的长，在Rt△AA'D中，A'D＝＝＝5，∴A'D﹣DQ＝5﹣1＝4，∴AP+PQ的最小值等于4，故选：C．2、如图，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A，B分别在直线l和直线m上，且OA=3，OB=1，点P在直线m上，且△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P一共有___个。
3、已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，两个三角形按图1所示的位置放置，点B、F重合，且点B，E，F，C在同一条直线上，如图2，现将△DEF沿直线BC以每秒1个单位向右平移，当F点与C点重合时，运动停止.设运动时间为t秒.（1）若t＝2时，则CF的长是（2）当t为何值时，△ADB是等腰三角形.4、如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ 的长；（2）当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒钟后，△PQB 能形成等腰三角形？（3）当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．【答案】解：（1）∵BQ ＝2×2＝4（cm ），BP ＝AB ﹣AP ＝16﹣2×1＝14（cm ），∠B ＝90°，∴PQ ＝532（cm ）；（2）BQ ＝2t ，BP ＝16﹣t ，根据题意得：2t ＝16﹣t ，解得：t ＝316， 即出发316秒钟后，△PQB 能形成等腰三角形；（3）①当CQ ＝BQ 时，如图1所示，则∠C ＝∠CBQ ，∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ ＝90°．∠A+∠C ＝90°，∴∠A ＝∠ABQ ，∴BQ ＝AQ ，∴CQ ＝AQ ＝10，∴BC+CQ ＝22，∴t ＝22÷2＝11秒．②当CQ ＝BC 时，如图2所示，则BC+CQ ＝24，∴t ＝24÷2＝12秒．③当BC ＝BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE ＝548，∴CE ＝536，∴CQ ＝2CE ＝14.4，∴BC+CQ ＝26.4，∴t ＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．举一反三1、如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4D ．5【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BDN中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BDN中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．2、已知直线a⊥b，垂足为O点，点A，B分别在直线a、b上，且OA=8，OB=6，点C 为直线b上一点，且△ABC是为等腰三角形，求OC的长度。