西安交通大学高等工程热力学报告学号：XXXXXXXXXX姓名：XXXXX专业：工程热物理班级：XXXXXX能源与动力工程学院2015/12/26经典和量子统计物理学的初步认识经典统计物理学是建立在经典力学基础上的学科，而量子统计物理学是建立在量子力学基础上的学科，从经典统计到量子统计，它们之间存在着一定的区别和联系，并在一定的条件下可以相互转换。

利用经典统计方法推证热力学中的能量均分定理，并结合热容量的定义求解某些系统内能及热容量时，发现其理论值与实际值存在差异，这是经典统计物理难以解决的问题，本文采用量子统计理论做出了合理的解释，从而使理论值和实际值吻合的很好。

因此，可以看出经典统计的局限性是量子统计理论建立的基础，量子统计理论很好的补充了经典统计理论的不足。

1. 理想气体物态方程的经典统计推导在普通物理的热学中，从气体的实验定律（如：玻意耳—马略特定律、查理定律及盖吕萨克定律）出发推导理想气体物态方程，而在理论物理中热力学统计利用经典统计方法仍能给出相应的理论，它是经典统计物理应用的一个典型的实例。

对自由粒子而言，其自由度r=3，其坐标表示为(x ，y ，z)，与之相对应的动量为(p x ，p y ，p z )，那么它的能量为：2222x y z p 1==(p +p +p )2m 2mε()1 将（1）式代入玻耳兹曼系统下的配分函数：1222x y z l (p +p +p )2m l l z e e ββεωω--==∑∑()2由于玻耳兹曼系统的特点是每个粒子可以分辨，可看成经典系统，则系统看成连续分布的，即配分函数中的求和变为积分，则有：131...222(p +p +p )x y z 2m x y z z e dxdydzdp dp dp h β-=⎰⎰()3 求解积分可得：32122()z V h β=πm ()4 其中V dxdydz =⎰⎰⎰是气体的体积，根据玻耳兹曼系统广义力的统计表达式类比压强的统计表达式为:1lnz N P Vβ∂=∂()5 将（4）式带入（5）式，求导可得理想气体的压强： NkT P V =()6化简为：PV=vRT（ν为气体的摩尔数）上式为理想气体物态方程。

从以上推证过程可以看出，利用实验定律和经典统计理论均可以推导出理想气体所满足的方程，采用不同的研究方法（实验法和统计法）最终可以得到相同的结果。

2.系统的内能和热容量利用经典玻耳兹曼分布可以导出一个重要的定理——能量均分定理。

具体表述为：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中的每一个平方项的平均值等于1/2KT。

利用能量均分定理可推导单原子分子系统、低温下的双原子分子系统及固体中的原子系统的内能及热容量。

根据经典统计能量均分定理分析理想气体的内能和热容量所得的结果与实验结果大体相符，但是有几个问题没有得到合理的解释。

第一，原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二，低温下氢气双原子分子为什么热容量的理论值与实验结果相差较大；第三，固体中原子的热容量随温度降低的很快，当温度趋近于绝对零度时，热容量也趋于零。

这均需要利用量子统计理论来解释3.量子统计理论对于单原子分子，在原子基项的自旋角动量或轨道角动量为零的情况下，原子的基项能级不存在精细结构。

原子内电子的激发态与基态能量之差大体是电子伏的量级，相应的特征温度约为104→105K，一般温度下热运动难以使电子跃迁到激发态。

因此电子被冻结在基态，对热容量没有贡献。

利用量子统计理论推导，发现常温范围内，振动自由度对热容量的贡献接近零。

其原因可以这样解释，在常温（300K左右）范围双原子分子的振动能级间距ℏω（ℏω = kθv）远大于KT。

由于能级分立，振子必须取得能量ℏω才有可能跃迁到激发态。

在T<<θv（θv振动特征温度数量级为103）的情况下，振子取得ℏω的能量而跃迁到激发态的概率是极小的。

因此平均而言，几乎全部振子都冻结在基态。

当气温升高时，它们也几乎不吸收能量。

这就是在常温下振动自由度不参与能量均分的原因，从而导致了氢气在低温下热容量理论值与实际结果相差较大的原因。

固体中的原子与氢气双原子分子类似，固体原子的振动特征温度θE（爱因斯坦特征温度）与环境温度相比时，若T>>θE时，C v=3NK，和能量均分定理的结果一致。

这个结果的解释是，当T>>θE时，能级间距远小于KT，能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。

若T<<θE时，C v→0，这个结果与实验结果符合，可以这样解释，当温度趋于零时，振子能级间距ℏω= kθv>> KT，振子由于热运动取得ℏω的能量跃迁到激发态的概率是极小的，因此几乎全部振子都冻结在基态。

所以，在低温下，固体中的原子在温度很低时热容量趋于零。

4.量子统计与经典统计的区别和联系20世纪开始，普朗克在他的黑体辐射公式中提出了量子概念，首先动摇了经典物理学的观念，后来爱因斯坦应用量子理论成功地解释了光电效应，接着爱因斯坦、德拜等人应用量子理论成功地研究了固体的热容量，获得了满意的结果，到1925年海森堡和薜定谔建立了量子力学之后，人们才明确了在宏观运动中归纳总结的经典电动力学不能完全适用于微观运动，而必须运用量子力学的规律对经典统计理论进行根本的改造，因而，随着量子力学的建立，量子统计理论也同时形成并不断得到完善。

对经典系统或量子系统的随机运动过程而言，在统计原理上并没有本质的差别，所以，量子统计仍以等概率原理为基本假设，肯定系统的系综平均值等于实验观测的时间平均值这个统计等效原理以及认为平衡态下的系综分布函数形式与经典统计的形式一样，量子统计与经典统计的根本区别，在于它们的力学基础不同，经典统计是以经典力学为基础，而量子统计则是建立在量子力学的基础上，这就导致对微观粒子运动的描述绝然不同。

从量子理论考虑，微观粒子具有波粒二象性，粒子的能量量子化等，这些对于经典力学是不可思议的，但都被大量实验事实和理论所证明。

1)微观粒子的二象性和测不准原理经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1，q2，…，q r，和与之共轭的r个广义动量P1，P2，…，Pr在该时刻的数值确定，这就是说，可以同时把每一个粒子的坐标和动量的数值精确地测定，而微观粒子运动状态的变化，则遵从哈密顿正则运动方程，在相空间中画出相应的相轨道。

但是从量子力学考虑，微观粒子同时具有粒子性和波动性。

粒子性表现在它们具有确定的静止质量、电荷、磁矩、自旋等内禀特性并遵守粒子碰撞的规律。

波动性则是它们的分布与波的干涉或衍射结果一致。

微观粒子同时具有这两种互相排斥的性质称为粒子的二象性。

由于微观粒子具有二象性，因此在同一时刻不可能将一个粒子的坐标和动量测得十分精确，这就是说，如果粒子的坐标测得很精确，那么在同一时刻动量的测量就变得不精确，反之亦然。

既然坐标和动量不能同时精确地确定，粒子的运动就不会有确定的轨道，其运动状态不能再象经典力学那样用广义坐标和广义动量来描述了。

2)微观粒子的全同性原理在量子理论中各种粒子是按照它们的静止质量、自旋、磁矩、寿命等内禀性质来分类的，因为同一种粒子的所有内禀性质都相同，所以称之为全同粒子。

在经典力学中，由于对每个粒子可以用相应的广义坐标与广义动量来描述它们的运动状态，并且遵从正则运动方程，这样我们至少在原则上能够追踪一个粒子轨道，把它辨认出来，因此，经典运动的粒子都有确定的轨道，可以按轨道对它们加以编号，所以经典情况下的全同粒子是可以分辨的。

经典力学中，系统中的同种粒子互换状态可以得到新的微观态。

量子力学中，微观粒子具有波粒二象性，它的运动不是轨道运动，原则上不可能跟踪粒子的运动。

例如，从粒子具有波动性的这种观点来看，在电子衍射现象中，要区别其中一个电子的轨道是不可能的，因此全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。

量子理论证明，反对称性波函数的粒子都遵从泡利不相容原理，它表明两个或两个以上粒子不能同处于一个量子态中。

所有的费米粒子都遵从泡利不相容原理，它们都具有反对称的波函数。

玻色粒子的波函数是对称的，它们不遵从泡利不相容原理，因此在同一个量子态中可以容纳任意多个玻色粒子。

微观粒子的不可分辨性及其波函数对称和反对称的要求，称为微观粒子遵循的全同性原理。

3)对应定理与经典极限条件从上面的讨论可以看出，量子力学与经典力学对微观粒子的描述有着本质的区别，微观粒子实际上遵从量子力学的运动规律，然而，在一定的极限条件下，可以由量子统计得到经典统计的结果。

因此经典统计在一定条件下仍然具有实际意义。

量子力学的运动规律虽然与经典力学不同，但经典力学却是量子力学的高温极限情况。

一般地说，温度愈高粒子动能愈大，动量P值也愈大，因而随着温度的升高，德布罗密波长λ=h/p趋向零，导致的影响趋近于零。

粒子运动不再显波动性。

粒子能量的量子化效应也趋于消失，于是可用经典力学方法描述粒子的运动，因此经典力学是量子力学的极限情况。

但是，h是一个具有确定数值的常数，不会趋于零，只是在某些问题中，h的数值相对来说很小，不起重要作用，在描述量子态的量子数足够大时，可采用半经典的方法来描述粒子的量子态。

例如，一个一维运动的粒子可以用经典的q，p户相空间描述。

我们加上量子论的测不准关系的限制，则在△w=△q·△p=h这样大的相格内只能有一个量子态。

反过来说，若相格内有两个以上量子态则违反测不准原理，因而是不可能的。

将这个结果推广，可以得到，对于一个具有r个自由度的粒子，在相格h中只能有一个量子态。

这个关系称为对应定理。

由此可见，在经典极限条件下，量子统计中的玻色与费米分布都过渡到半经典的玻耳兹曼分布。

综上所述，经典统计物理是描述宏观世界的理论，量子统计物理是描述微观世界的一种理论，经典统计法和量子统计法所采用的统计物理学框架是相同的，即从统计原理出发，它们没有什么本质的区别，仍然把系统的宏观量作为相应的微观量的统计平均值。

二者的区别仅仅在于构成系统的粒子运动用什么力学去描写，即它们对粒子运动状态的描述方法不同。

在经典统计物理学中，微观运动状态是用相空间（μ空间）来描写的，基本要素是广义坐标和广义动量；在量子统计物理学中，微观运动状态是用量子态描写的，这些量子态由各种可能的不连续的能级组成。

从根本上说，量子统计包括了经典统计，因此量子统计物理学具有更普遍的意义，经典统计物理学只是它的一种极限情况和近似理论。