九、弧微分
ds ( dx )2 ( dy )2 1 y2 dx
1. y f ( x ) 时， ds 1 y2 dx
2.
x
y
( t (t
) )] 2
3. ( ) 时， ds 2 2 d
F ( x ) 0
lim f ( x ) A xa F ( x )
③ lim f ( x ) A （有限或 ）（ a 可以是 ）
型
xa F ( x )
四、其他不定型转化为 0 或
0
不定型
转 化 过 程.
0 1 2 1
0 0 0 ；或 0
1 0
10
1
2
1 1 1
)( x x0
)2
f ( n )( x0 n!
)( x x0
)n
Rn( x )
其中 Rn ( x )
f ( n1 )( ) ( n 1 )!
(
x
x0
)( n1 )
,
x0
x。
麦克劳 林公式
( x0
0)
f(x)
f (0 )
f ( 0 ) x 1!
f ( 0 ) x2 2!
f ( n )( 0 ) xn f ( n1 )(x ) xn1 , ( 0 1 )
1. f ( x ) Ca , b 拉格朗日定理 2. f ( x )在 a , b内存在
推论 1
在定理条件下，若 f ( x ) 0
结论
a , b使得
f ( ) 0
a , b使得
f ( ) f ( b ) f ( a ) ba
则 f ( x ) C （ C 为常数）
推论 2 柯西定理
1
1 2
1
2
1 1
1
0 0
12
1 eln1 e0
00
00 e0 ln0 e0
0
0 e0ln e0
五、泰勒公式
分类
定
理
泰勒公 式
设 f ( x )在含有 x0 的某开区间 a ,b内具有直到
n 1 阶的导数，则
f(x)
f ( x0
)
f ( x0 1!
)( x x0)
f ( x0 2!
F( b ) F( a ) F ( ) 3.F ( x ) 0 , x ( a , b )
三、洛比达法则
类型
条
件
结论
0
①
若 x a 时，
f(x) 0
（或 ）；
0
F( x ) 0
lim f ( x ) xa F( x )
或
0
② 在U( a )内， f ( x )和 F ( x ) 都存在，且
补充说明
f ( x )为凹弧 f （x） 0
设 f ( x )Ca ,b， a , b上可导，
曲线为凹弧 切线斜率
f ( x )为凹弧 f （ x）在 a , b内上升。
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 lim x x0
f(
x)
或 lim x x0
f(
x)
，则 x
x0 是
y f ( x ) 的铅直渐近线（ x0 可以是 ）
n!
( n 1 )!
六、可导函数单调性的判定
定 理 （判 别 法）
设 f ( x )Ca ,b，在 a , b内可导，则 ① f ( x )在a ,b上单调递增 f （ x） 0，x a，b ② f ( x )在a ,b上单调递减 f （ x） 0，x a，b
七、曲线凹凸性的判定定理
定
理
设 f ( x ) Ca ,b， f ( x )在 a , b上存在，
若 lim f ( x ) A 或 lim f ( x ) A ，则 y A 是
x
x
水平渐近线
y f ( x ) 的水平渐近线
斜渐近线
若 lim f ( x ) a ，又 lim f ( x ) ax b 存在，
x
x
x
( x )
( x )
则
y ax b 是 y f ( x ) 的一条斜渐近线
若 f ( x ),g( x ) 都满足定理条件， 则 f ( x ) g( x ) C （ C 为常数）
且 f ( x ) g( x )
1. f ( x ) 、 F( x ) Ca , b
a , b使得
2. f ( x )、 F ( x ) 在 a , b内存在 f ( b ) f ( a ) f ( )
第三章 中值定理与导数的应用
一、四个中值定理的关系
推广 罗
拉格朗日定理
尔 特例 f ( a ) f ( b ) 推 特例
定
广 n0
理
泰勒定理
推广 柯
特例 F( x ) x 西
定 理
二、微分中值定理
名称
条
件
1. f ( x ) Ca , b
罗尔定理 2. f ( x )在 a , b内存在
3. f ( a ) f ( b )