(A)一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。

证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1当x 0时，F'x ・0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ・0,即e x 1 x22 .设 x 0，证明 x - xIn 1 x :: x 。

2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2因x • 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, •::单减。

2x故 f x :: f 0 =0，即卩 xIn 1 x220：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x1——11 + x当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x2由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 • x :: x2(B )一选择 1— 4 CBDD习题3.11°:令 f x R x -计算与证明arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故1 1 arctan arcta n—，使 f nLJ v f 1 1当n 时，贝厂＞ 01故原式二 lim f = lim 2= 12.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ・0,1 ，都有f x -1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。

证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0，F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。

下证唯一性。

设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， fX 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：51X1, X 2 ，使 得f =f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1x 2 _捲 x 2 _捲这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。

3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点1,2，使F 」=0。

求lim n _L ：i由拉格朗日定理知，存在一点证明：由题设知F x在1,2 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点a. 1,2 , 使得「a =0 o因为F * = f x • x —1 f，则由题设知F'x在1,a ］上连续，在1,a内可导，且F j = f 1 =0，故F'x在1,a 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点•，使F ”=0，4•设f x在la,b 1上连续，在a,b内二阶可导且f a］= f b］=0，且存在点c三［a,b ，使得f c 0，试证至少存在一点匚三［a,b ，使得f i- 0 o证：f X在a,cl及c,b ］上都满足拉格朗日定理条件，则存在鼻三ac，■■三Cb，使得f ：J c -f a上c —a c — af： = f b -f c f cb-c b-c因为 f c 0，则 f f:：: 0因f x在a,b内二阶可导，则f x在L ,门上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点匚「- J ，使f ” 二」::: 0 oP -CL习题3.2选择1—5 CBABD计算1•求lim x"n1 x12x = lim 1x ：0112 .求 limTJn(1 +x )型 =limlimx —0 1 x ln 1 x i 亠 x—0 ln 1x^214. 求 lim 1 x 2 匚-arctgx解：令 § — arctgx 二 t ，贝U x 二 ctgt故原式二 lim t lnctgtt T=lim ,- f2、T 弋 A- csc t ) ctgt=lim Snt lim -cost r —0 t —0令y 二严t ，则lnyInt In ctgt解：原式二lim x 」n1 x 輕T xlnf1 + x I = 7xln 1 x1」 ln 1 x x3 •求lim 上込x気cos3x型广 -2cosx 、3解：原式 H m 0_3sin3x解：令 y = 1 x 2 x ，则 In yIn 1 x 2ln 1 x 2 -型 0lim= 0x )01 x 2•••原式二e 0=1 型'•Tim ln y 」lim—oJ0 ■1sint 丄 cost•••原式 6.求极限lim x x^0 +解：令 y 二 x x ，贝U In y 二 xln xIn x 型lim xln x = lim lim - x P 亠 —0 亠x )0 亠7 .求 limx sin xe -e型 x sin x 3sin x ・sin x型，. e 「e cosx 「3esirxcox 「e cox 0limx —cox习题3.3略习题 3.4—3.6(A )一选择1— 8 CACBC DCD 二计算1 .求函数y = x 3 -3x2 -9x 14的单调区间。

解：y = 3x 2 -6x-9=3x1 x-3x — si nx•原式=1 解：原式型xsin x-e cosx 1 —cosx型x si nx 2si nx ・e - e cos x e sin xsin x-0当-1 ：： x :: 3 时，y <0 当 x . 3 时，y •0故y 在-:：,-1 ］及单增，在1_ 1,3单减 2•求函数y =2e x 飞」的极值。

1令 y =0 得 x In 221当x In 2时，y ：：： 0 ,从而y 单减 1当x ・-©I n2时，y ・0，从而y 单增1故x In 2时，y 取极小值02In 2 x3•求函数y 二口的单调区间与极值。

x2 -In x Inx2x令y =0，得x=1或e 故可疑极值点1，e 24.当a 为何值时，y =asi nx ，-si n3x 在x处有极值？求此极值，并说3 3明是极大值还是极小值。

解:目二 a cosx cos3x由于y 在x = I 处有极值，则y "二］=0，从而a = 23 13丿 当x 二时，y 0，从而y 单增3解: 八2e x -e解:当x -时，y^O，从而y单减3故y在x 处取得极大值。

32 25. 求内接于椭圆笃•爲=1，而面积最大的矩形的边长。

a b解：设矩形在第一象限的顶点坐标为x,y，则'x =ac oS (兀、丿0 < 0 < — Iy=bsi用I 2 丿故矩形面积为S =4xy =4absin v COST - 2absin 2r当时，S取最大值2ab，4矩形边长分别为2x =：.；2a和2y ’2a。

6. 函数y二ax-• bx2 cx d a 0的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。

解：y" =3ax2• 2bx ■ c，因a・0,则y ■是开口向上的抛物线要使y没有极值，则必须使y在-：:，二是单增或单减即必须满足y0或y'O故只有2b 2 -4 3ac ：：： 0时，才能使y 0成立即b2 :: 3ac时，y没有极值。

、24x27. 试证y = xs in x的拐点在曲线y ------------ 2上。

4 + x证：y = sinx xcosx，y =2cosx-xsinx… 口"心一…2cosa—asi na = 0 设(a,b )是y = xsin x的拐点，贝Ub =asin a2 2 4a 24(2ctga )2 = 24 + a 4 + (2ctga )••• y=xsinx 的拐点在曲线y 2上4 + xx —18试证明曲线"厂有三个拐点位于同一直线上 ,_x 2+2x + 1 ” _(x +1【x 2 _4x+1)八 x 2 1 2 ，八 x 2 13 令 y = 0 得：x^ -1 , *2=23 , X 3 = 2 r ：3 • y 一1 = _1 , y2 、3 =3、3-5, y 2 -、3—3.3-5故三个拐点 A -1,-1 , B2 、3,-5 3 3 ,C 2— .3,-5-3、.3容易验证：A 、B 、C 在同一直线上。

9 •试决定y =kx 2 -32中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点解：y =4kx x 2 -3 , y = 12k x 2 -1令y =0,得x 胡或-1 则拐点为1,4k 及-1,4k10 •在拐点1,4k 处切线斜率为y ，1 =-8k1从而在拐点1,4k 处法线斜率为一，这样法线方程为8k1■. 2 y-4k=— x-1，因法线过原点，所以k -8k820 •在拐点-1,4k 处切线斜率为y -1 =8k ,这样法线方程为即』'a = 2ctga b =2cosa二 4 cos 2 a 二 b 2证:1 2y_4k - x 1 ,因法线过原点，所以k -8k 8;-故k二时，曲线的拐点处的法线通过原点选择1—6 DBDDC C二计算与证明1 .试证当a b 1 0时，f x丄业卫取得极值。

x -1证：「X 二x「2x「a -b _ 1 a b 1 x-1- _ _x-1-故 a b 1 0 时，f x =0 有解x =7 a b 1当x ：： 1 - . a b 1时，f x ］，0，从而f x单增当 1 - . a b x J a b 1 时，f x ：：： 0，｛则 f x 单减当x . a b 1时，f x • 0，贝U f x单增故f x在x = 1 i：；a b 1处取得极大值f x在x=1 • a b 1处取得极小值-.求由y轴上的一个给定点0,b到抛物线X-=4y上的点的最短距离(1\解：设M x,- X-是抛物线上任一点，则(0, b倒M的距离为I 4丿令 d = 0 ,得 x = 0或 x 2 = 4b -810•当b 2时，只有一个驻点x = 0 当x ：：：0时，d\0，从而d 单减 当x 0时，d 0，从而d 单增故x = 0是d 的极小值点，极小值为| b |2.当 b _2 时，有三个驻点 x =0, - 2...b-2 ,2,b-2当 x ：：： -2 b - 2 时，d ^ ：：： 0，从而 d 单减 当- 2 . b - 2 ：： x ：： 0时，d 0，从而d 单增 当 0 ：：： x ：：： 2 b 「2 时，d ::: 0，从而 d 单减当x .24-2时，d ・0 ,从而d 单增故x 二2、b-2是极小点，极小值为 2、b-2习题3.7一选择1. B二计算略自测题 一选择1— 3 BDC二解答x 'xJ -x sin2 x T从而d 1 x Abx .8 2f (x )F x = 丁 f 0,解：令y =x 3x"，贝U In y 二 3x -2 In x ,从而 y 丄 x 3x ，3 —? +3ln x i ! x 丿 y 二 x 'x ，3x 2 x 3x_2x lim 2 x 1 x-1 2 — 3-- 3ln x -1 x2 x-13x _2c x 0型0 lim —x :1 323lnx1 k x 丿x'Q -xsin2 x-1x -13x -2x -x_. =lim 2 lim x 1 x-1 2 x 11 si i2 x -1x -1=3 2=612•求 lim 1 x_ex1解:令 y =】1 x x ，贝U ln y -In 1 x xx 2 1 x0型 故原式二凹x2（1 + x ）0 型 x - 1 x I n 1 x0型 1 1 啟蝕卜齐1nXx"b e Q]lne — 」＜ 2丿 3 .设函数fx 二次可微，有f x 0 ,f 0 =0，证明 是单调增函数证：当xr 时，F ・x =xf X 2f X 连续XF 0 x - F 0 F x -f 0由于 F O ；=lim lim Z Ax二 lim f 八于 ° 評 lim r f 0x 0 x 22 x[fxf )xn 故 F x = x1 f 70 )2 因为艸肿x 巳叫xf x x ；fx] l^m^LAUf 0所以F x 在x =0处连续，故F'x 在-::「：上连续。