第四章 中值定理与导数的应用一、填空1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。

2、若21cos 1sin lim20=-→kx x x ，则k = 。

3、=a ，=b 时，点（1，3）为23bx ax y +=的拐点。

4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。

5、函数)1ln(2x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。

6、函数23)5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。

7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x ，则=a ，=b 。

8、xx x y )11(-+=的水平渐近线为 。

二、选择1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)41,21(-内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(><f f ，则)(x f 在（0，1）内（ ） A 、至少有两个零点 B 、有且仅有一个零点 C 、没有零点 D 、零点个数不能确定3、函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（ ） A 、0)(0='x f B 、0)(0<''x fC 、0)(0='x f 且0)(0<''x fD 、0)(0='x f 或不存在 4、1ln )(2-=x xx f 的垂直渐近线为（ ） A 、1=x B 、1±=x C 、1±=x ，0=x D 、0=x 5、函数)(x f 有连续二阶导数，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(-=''f ，则=-→2)(limx xx f x （ ） A 、-1 B 、0 Ｃ、不存在 Ｄ、－２６、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则在0=x 处)(x f （ ）Ａ、不可导 Ｂ、可导且0)0(≠'f Ｃ、取得极大值 Ｄ、取得极小值 ７、设在［０，１］上，0)(>''x f ，则)(x f 满足（ ）Ａ、)0()1()0()1(f f f f ->'>' Ｂ、)0()0()1()1(f f f f '>->' Ｃ、)0()1(')0()1(f f f f '>>- Ｄ、)0()1()0()1(f f f f '>->'８、设)()(x f x f --=对一切x 恒成立，且当),0(+∞∈x 时，有0)(>'x f ， 0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内一定有（ ）Ａ、0)(<'x f ，0)(<''x f Ｂ、0)(<'x f ，0)(>''x f Ｃ、0)(>'x f ，0)(<''x f Ｄ、0)(>'x f ，0)(>''x f９、设函数)(x f 在上有定义，在开区间),(b a 内可导，则（ ） Ａ、当时，存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf B 、对任何),(b a ∈ξ，有0)]()([lim =-→ξξf x f xC 、当)()(b f a f =时，存在),(b a ∈ξ，使0)('=ξf D 、存在),(b a ∈ξ，使=-)()(a f b f ))(('a b f -ξ 10、设)1()(x x x f -=，则（ ） A 、0=x 是)(x f 的极值点，但（0，0）不是曲线)(x f y =的拐点 B 、0=x 不是)(x f 的极值点，但（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 C 、0=x 是)(x f 的极值点，且（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 D 、0=x不是)(x f 的极值点，（0，0）也不是曲线)(x f y =的拐点三、计算 1、0lim→x x x 3sin )21ln(+ 2、0lim →x )21ln(arctan 3x x x +- 3、0lim→x )tan 11(2xx x - 4、-∞→x lim )arctan 2(x x +π5、0lim →x xxex 11)1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+ 6、0lim →x x x 12)1(+ 四、应用题1、已知函数)(x f y =，在),(+∞-∞上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数)('x f 的图形如图所示，且8)1(=-f ，7)0(=f ，6)1(=f ，5)2(=f ，4)3(=f则（1）函数)(x f 的驻点是 。

（2）函数)(x f 的递增区间为 。

（3）函数)(x f 的递减区间为 。

（4）函数)(x f 的极大值为 。

（5）函数)(x f 的极小值为 。

为 。

（6）曲线)(x f y =的上凹区间为 。

（7）曲线)(x f y =的下凹区间（８）)(x f y =的拐点为 。

（注：只写结果即可） ２、一商家销售某商品，其销售量Ｑ（单位：吨）与销售价格Ｐ（单位：万元／吨）有关系：Ｑ＝３５－５Ｐ，商品的成本函数为Ｃ＝３Ｑ＋１（万元），若销售一吨商品，政府要征税a 万元（１）求商家获得最大利润（指交税后）时的销售量Ｑ（２）每吨税收a 定为何值时，商家既获得最大利润，且政府税收总额最大？３、已知c bx ax x x f +++=23)(在0=x 处有极大值，且有一拐点（１，－１），求c b a ,,之值，且求)(x f的单调区间，凹向与极小值。

五、证明１、证明：当π<<x 0时，有πx x >2sin２、设)(x f 在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且0)1()0(==f f ，1)21(=f 试证明：至少存在一个点)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf 答案一、 填空1、2 ；2、±2 ；3、29,23=-=b a； 4、2； 5、),(+∞-∞；1-ln2 ; -1-ln2；6、01=x ，32=x ，;53=x 108；0； 7、4,1-==b a ； 8、2e y =二、选择1、D 、2、B3、D4、D5、A6、D7、B8、C9、B 10、C 三、计算1、解：原式=0lim →x 323cos 3212=+x x2、解：原式=0lim →x =-32arctan x x x 0lim →x =-+226111xx 0lim →x 61)1(6222-=+-x x x 3、解：原式=0lim →x x x x x tan tan 2-=0lim →x 3tan x xx -=0lim →x 2231sec x x -=0lim →x x x x 222cos 3cos 1-=0lim →x 6132122=x x4、原式=-∞→x lim xx 1arctan 2+π=-∞→x lim 22111xx -+=-∞→x lim 1122-=+-xx 5、解：原式=0lim →x =+xxex 11])1([xx x z e 1)1ln(1lim 0-+→=2)1ln(limxxx x e-+→=xx x e2111lim 0-+→=1)1(21lim 0-=+-→x x e6、解：原式=)1ln(1lim2x x x e+-∞→=x x x e)1ln(lim2+-∞→-∞→x lim x x )1ln(2+=-∞→x lim 01122=+x x∴ 原式=10=e四、应用 1、解：（1）3,1,1==-=x x x；（2）)1,(--∞和),3(+∞；（3）[-1，3]；（4）8；（5）4；（6）（0，1）和),2(+∞；（7）)0,(-∞和（1，2）；（8）（0，7），（1，6），（2，5） 2、解：（1）税后利润为：aQ Q QP Q L ---=13)(又由p Q535-=得Q P 2.07-=a Q Q L -+-='44.0)( 令0)(='Q L 得驻点∴a Q5.210-=（吨）时，获利润最大。

（2）征税总额为：aQ T =，而Q 是厂家获利最大时的销售量，因此，此处a Q 5.210-=25.210a a T-= a T 510-=' 令0='T 得驻点2=a05<-=''T ∴ 当2=a 万元时，征收税额最大。

3、解：1)0(=f ⇒ 1=c令0)2(363)(2=-=-='x x x x x f ⇒ 2,0==x x 令0)1(666)(=-=-=''x x x f ⇒ 1=x1、证明：设πxx x f -=2sin)( 则π12cos 21)(-='x x f ∴ 函数)(x f 对应曲线在),0(π内向上凸又由于0)()0(==πf f∴ 当π<<x 0时，)(x f >0即：πxx >2sin2、证明：作辅助函数x x f x F -=)()(显然)(x F 在[21，1]上连续，在（21，1）内可得，且021)21(,01)1(>=<-=F F ，由零值定理，存在点)1,21(∈η，使得0)(=ηF ，又由于0)0(=F ，对)(x F 在],0[η上应用罗尔定理，存在点)1,0(),0(⊂∈ηξ使得0)(='ξF ，即1)(='ξf。