第四章“积分”简介一、内容和要求“积分”一章主要包括不定积分的概念及其运算、定积分的概念与性质、定积分的应用三部分。

“不定积分的概念及其运算”主要是运用基本积分公式表，求不定积分的过程；“定积分的概念与性质”主要是理解并掌握定积分的概念，定积分的概念是本章最重要的概念，是学习其他内容的基础；“定积分的应用”主要介绍定积分在几何上的应用和在力学上的简单应用。

（一）不定积分概念及其运算不定积分概念及其运算包括原函数和不定积分的概念、基本积分公式、不定积分的运算法则、直接积分法、第一换元积分法等。

不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材在学生掌握求导数方法的基础上，求原函数或不定积分。

由于在一定的条件下，求不定积分与求导数互为逆运算，因此学习本部分时，要与“导数与微分”一章的有关内容对照。

特别是基本积分公式与常见函数的导数的对应（如下表）基本积分公式常见函数的导数不定积分中的运算及化归的内容非常丰富，涉及的积分方法有：直接积分法和第一换元积分法，它是进一步培养学生运算及化归能力的良好素材。

不定积分的内容与导数的内容紧密相联，由于导数与积分之间的逆运算关系，所以大纲中强调一定的运算能力及变换技巧，但在高中阶段不应过分强调，否则容易成为学习的一种障碍，因为求不定积分及定积分涉及很多的运算及技巧，在高中安排积分的初衷似主要不是在此方面。

学生只需学会用直接积分法和第一换元积分法求不定积分即可。

本部分的教学要求：1．掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质。

2．熟记基本积分公式（），会利用线性性质和第一换元积分法求简单函数的不定积分。

（二）定积分的概念与性质定积分的概念是“积分”一章中最重要的概念。

定积分是在学习了极限、导数、微分及不定积分的基础上来学习的，它的理论基础是极限。

定积分的概念是微积分重要而又基础的内容，定积分中“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的。

教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。

可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。

定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要里程碑。

现在定积分已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域。

微积分基本公式即牛顿--莱布尼茨公式。

牛顿--莱布尼茨公式的建立，揭示了定积分与不定积分的内在联系，给出了计算定积分的一般的简便而适用的方法，使定积分真正成为解决许多实际问题的有力工具，促进了积分学的迅速发展。

因此，可以说，牛顿--莱布尼茨公式的出现，是积分学建立与发展的转折点，是积分学有如此广泛应用的关键。

正是由于这个公式本身的特点和历史上的作用，所以又称它为微积分基本公式。

本部分的教学要求：1．了解定积分概念的某些实际背景（曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等），了解定积分的定义和定积分的几何意义，知道函数连续是定积分存在的充分条件。

2．理解定积分的线性性质及对区间的可加性；了解（用直线运动的速度与路程的关系引出）微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），了解公式成立的条件，会用这个公式求一些函数的定积分。

（三）定积分的应用定积分的应用主要将用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力作功以及对极坐标系的初步介绍和在极坐标系中求平面图形的面积。

学习这部分内容，要达到以下目的：1．有助于对定积分是“和的极限”的思想的了解，即分割→近似代替→求和→取极限的思想方法．2．使学生学会用定积分解决在几何中用初等数学方法无法解决的面积、体积问题，力学方面的计算问题，从而进一步体会学习定积分的必要性．3．形数结合，加深对定积分几何意义的理解，不但能够求出关于某些平面图形的面积以及空间图形的体积的定积分表达式的值，而且知道某些简单的定积分表达式的几何意义．4．知道在求平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力作功时，定积分是一种普遍适用的方法．5．对几何图形的基本度量--面积、体积等概念有较为完整的认识。

6．了解极坐标的概念，会求极坐标系中简单的平面图形的面积。

二、编写特点（一）突出基本概念和基本思想“定积分”既是本章的基本概念，又是基本思想。

定积分应用的有关内容都是围绕定积分的基本思想展开的，所以掌握好定积分的基本思想是本章的关键。

教材除在“定积分的概念与计算”一节中重点介绍“定积分”的概念、思想外，又利用定积分的思想推导出旋转体的体积公式、极坐标系中平面图形的面积公式等。

定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。

定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。

比如阿基米德（Archimedes，公元前287年～公元前212年）远在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。

早在公元前六世纪我国古代数学家祖geng提出“幂势既同，则积不容异。

”（祖geng原理）“幂”是截面积，“势”是几何体的高。

意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等。

定积分的概念，在很早以前也已经在许多人的工作中逐渐形成。

但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分迅速建立发展起来。

定积分的思想即“分割→近似代替→求和→取极限”，它为我们研究某些问题提供了一种思维模式．旋转体的体积公式、变力作功的公式、极坐标系中平面图形的面积公式的推导，尽管在形式上不尽相同，但都是“分割→近似代替→求和→取极限”的思想方法．虽然在教学中主要是让学生会用上述的公式直接计算定积分，但学生掌握这一思想方法，高屋建瓴，对上述公式会有深刻的理解。

（二）加强知识之间的前后联系，归纳总结已学知识不定积分的内容与“导数与微分”的内容联系紧密，学好“导数与微分”一章，是学好不定积分的前提．在学习不定积分之前，对“导数与微分”一章进行适当地复习是非常必要的，特别是常见函数的导数，一定要熟记掌握。

教材在阅读材料“长度、面积、体积”中，对长度、面积、体积等几何度量进行了归纳总结．长度、面积、体积等贯穿了初等几何学习的始终，学完定积分后对它们进行适当地总结，目的是使学生对于长度、面积与体积的概念有较为完整的认识，而且还能体会定积分的价值，知道定积分在求图形的长度、面积、体积时，是一种普遍适用的方法。

（三）注重与物理学科的联系在物理研究中，用数学工具解决物理问题已不鲜见。

事实上，物理学和数学的联系非常紧密，综观整个数学史和物理学史，不难发现，在物理科学的研究中，不断产生新的数学知识，微积分的产生是最明显的一例；反过来，数学知识的充实和完善又促进了物理学的发展，两者相辅相成。

“定积分在力学上的简单应用”一节充分说明了这一点。

本章的变速直线运动的路程、自由落体运动、变力作功等问题都是力学中常见的问题，但用以前的方法无法解决，现在引入定积分，可使这些问题顺利解决。

本章特别注意与全日制普通高级中学教科书（试验本）物理第一册（必修）的联系，在全日制普通高级中学教科书（试验本）物理第一册（必修）中，对“位移公式的另一种推导”中曾提到速度--时间曲线下的“面积”，并指出速度--时间曲线下的“面积”即为匀变速直线运动的位移。

尽管此时并未提出“定积分”的概念，但已用定积分的思想在解决问题了。

学生在学习了定积分后时，重新审视物理中的相应章节，既可巩固物理知识，又能充分体会学习定积分的价值。

（四）理论联系实际，培养学生应用数学的意识从内容安排来看，本章的“4．5”“4．6”讲的是定积分在几何和力学方面的应用。

在数学中，应用可以分为不同的层次：1．数学知识的直接应用，如由基本积分公式表，利用直接积分法和第一换元积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；2．运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决变速直线运动的路程、变力作功等问题，这是高一级层次的应用；3．运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，尔后进行解决，这是最高层次的一种应用。

本章涉及的应用问题主要是第2种应用，即运用数学知识解决数学模型。

为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本章在复习参考题B组中安排了不少由实际问题抽象出来的数学模型，如桥拱、飞机的副油箱等等。

学生通过这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的。

三、需要注意的几个问题1．不定积分和定积分的计算不定积分和定积分的运算、化归内容非常丰富。

但本章不定积分和定积分的计算只限于利用基本积分公式表中的基本公式和定积分的线性性质，运用直接积分法和第一换元法进行。

不要在扩充基本积分公式，不要引入分部积分法、有理函数积分法、无理函数积分法等积分方法。

2．定积分的概念和定积分公式的运用了解定积分概念的实际背景，知道定积分的几何意义，在运算过程中适当加强几何直观，能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分，学习中注意数形结合。

掌握“分割→近似代替→求和→取极限”的思想方法，但不要求学生推导曲边梯形的面积公式、变速直线运动的路程公式、旋转体的体积公式、极坐标系中平面图形的面积公式等，教师在讲述这些公式时，重点是介绍为什么要“分割→近似代替→求和→取极限”，要给学生讲清思路。

对学生来讲，主要是运用上述公式，进行运算，解决具体问题。

3．极坐标系和极坐标系中平面图形的面积本节的重点是运用极坐标系中平面图形的面积公式求平面图形的面积。

对极坐标的概念只要求了解，认识到极坐标的工具作用。

对于极坐标系中平面图形的面积中的平面图形，不要作更多的扩展.若扩展，必须给出图形的形状及画法，以便把主要精力放在图形的面积的求法上。

安排此节主要目的还是从定积分应用的角度出发，极坐标系和极坐标方程仅仅是一种工具，所以本节重点应放在定积分的应用上。

四、有待研究的问题1．有关定积分的内容是不是讲的直观一些更好？2．引入定积分概念是否可用“归纳→猜想→证明”的方式？即运用这样的实例（让学生多一个发现问题的途径）：汽车在10个不同的时间区间均做匀速直线运动，但速度不等，由速度-时间曲线可知，其路程等于如下图所示的10个矩形的面积的和，由此，猜想按速度函数作变速直线运动的汽车行驶的路程等于速度-时间曲线与横轴所围的图形的面积。