不定积分解题技巧探讨数学与计算机科学学院 数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强 指导老师：邓勇平【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。

在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。

有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。

针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。

【关键词】 不定积分；难度；典型；技巧引言《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。

不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。

对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。

为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。

一:不定积分的概念与性质定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。

定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则（1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数； （2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为()⎰dx x f ,即()()⎰+=C x F dx x f 。

其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。

性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()⎰⎰=dx x f k dx x kf 。

附：常用积分公式（1）⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）⎰x udx=1u x 1u +++C(u ≠-1);（3）⎰x dx =ln x +C ； （4）⎰2x1dx +=arctanx+C; (5)⎰2x1dx -=arcsinx+C; (6)⎰cosxdx=sinx+C;(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8)⎰x2cos dx =⎰sec 2xdx=tanx+C; (9)⎰xdx 2sin =⎰csc 2xdx=-cotx+C; (10) ⎰secxtanxdx=secx+C; (11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x+C; (13) ⎰a xdx= e x+C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-ln cosx +C; (17)⎰cotxdx=ln sinx +C; (18)⎰secxdx=ln tanx secx ++C;(19) cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)⎰22x a dx +=ax x ln a 1+-a+C;(21)⎰22x a dx -=arcsinax+C; (22) ⎰22x a dx +=ln(x+22a x ++C;(23) ⎰22a x dx -=ln 22a x x -++C.二：求不定积分的方法及技巧小汇总(一):不定积分的直接积分法一般地，我们把将被积函数进行适当的恒等变形后，利用不定积分的性质和基本积分公式，求出不定积分的方法称为直接积分法。

直接积分法是建立在不定积分线性运算法则（∑⎰⎰∑===ni ii ni iidx x x fk fk11))(()(）和不定积分基本积分公式之上的，求解不定积分的一般思路是：先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算，然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解。

例 2.1 求不定积分：⎰dx x x x22sin cos 2cos【解】⎰⎰⎰-=-=dx x x dx x x x x dx xx x )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 .tan cot sec csc 22c x x xdx xdx +--=-=⎰⎰例 2.2 ⎰+-+-+dx xx x x )1111(【解】⎰⎰--+-+=+-+-+dx xx x x dx x x x x )1)1(1)1(()1111(2222 ⎰⎰+=-=--++=.arcsin 2121)1()1(22c x dx xdx xx x例 2.3()⎰--dx x x 21010【解】()⎰--dx x x 21010=()⎰-+-dx x x 2101022()()[]d x xx⎰-+=-2101022=()C x x x +---2101010ln 2122(二):不定积分的换元积分法1:第一换元积分法（凑微分法）：令)(x u u = 若已知⎰+=C x F dx x f )()(，则有[][]C x F dx x x f +='⎰)()()(ϕϕϕ其中)(x ϕ是可微函数，C 是任意常数。

应用第一换元法应熟悉下列常见的微分变形。

a b ax d ab x d dx )((1)(+=+=、)0≠，a b 为常数 具体应用为（1）⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax a dx b ax mm =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++⋅+C b ax aC m b ax a m ln 11)(11)1()1(-=-≠m m（2） )(111b x d a dx x a a++=+ )()1(11b ax d aa a ++=+，a (、b 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。

例如：x d dx xx x d dx x dx xdx 21),(32,212===（3）)ln (1ln 1b x a d ax d dx x +==b a ,(为常数，)0≠a （4）,0(ln )(,>==a aa d dx a de dx e x xxx且)1≠a ； （5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）)(arctan 112x d dx x=+ （8）)(arcsin 112x d dx x=-在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

例2.4：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2.5：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 122例 2.6：⎰xdx x 53cos sin【解】⎰⎰⎰-==xdx x xdx x x xdx x 525253cos sin sin cos sin cos sin()()⎰⎰+-=-=--=C xx x d x x x xd x 685752cos cos cos cos cos cos cos cos 1例2.7：计算⎰+dx x b x a x x 2222cos sin cos sin ，22a b ≠【解】⎰⎰+=+xb x a xdx x dx xb x a xx 2222222cos sin cos sin cos sin cos sin()()⎰⎰++-=++-=xb x a x b x a d b a x b x a x b x a d b a 22222222222222222222c o s s i n 2c o s s i n 1c o s s i n 2c o s s i n 1 C x b x a ba ++-=222222c o s s i n 12第二换元积分法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。

，有时代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++例2.8：()⎰+dx x x 11【解】令t x =，则2t x =()()()⎰⎰⎰⎰+=⋅+=+=+dt t tdt t t dt t t dx x x 22221122111111 C x C t +=+=arctan 2arctan 2例2.9：⎰++321x dx【解】令t x =+32，则23-=t x⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+=++C t t t dt t t s x dx 1ln 23121223 ()C x x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+=333221ln 2223例2.10：⎰-dx x a 22【解】 令,sin t a x =则axt arcsin= ⎰⎰⎰=-=-tdt a t da t a a dx x a 2222222cos sin sin⎰⎰⎰+=+==-=-C a xC t dt ta a tda x a dx arcsin sin sin 22222⎰+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=C t t a dt t a 22sin 222cos 122C x a x a x a +-+=22221arcsin 2 例2.11:求不定积分：⎰+dx xx211【解】分析：对于例题2.11，若采用第二换元积分法，新得出的积分⎰++-=c t t tdt cot csc ln csc ，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分法则过程相对复杂。