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第3章运动定理(3)力矩与角动量
2 2
J J ' sin
例:圆周运动的质点关于圆心O的角动量
J r p
J rp m rv m r
2
J
v
r
m
SI:kg·m2/s
•
,或 J·s
o
微观体系的角动量是明显量子化的,其取值只能是 普朗克常数
h / 2 1 .0 5 1 0
34
i
m i ri m i rc M rc M r 0 c
角动量的柯尼希定理的推导
第四项
所以
i
ric m i v ic
J rc M v c
i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
据质点组的角动量定理
i
i
ric F i
rc M
i
2. 质心系的角动量的定理
d rc M v c ric m i v ic dt dt i d rc dvc d M v c rc M ric m i v ic dt dt dt i dvc d v c M v c rc M ric m i v ic dt dt i dvc d rc M ric m i v ic dt dt i dJ
质点的角动量定理(积分形式)
t
t
0
Ld t
t
t
0
dJ J J 0
意义:力矩L作用于质点m在△t时间内的积累效果, 导致质点的角动量发生改变。
质点角动量定理的几点说明
① 该定理仅适用于惯性系,在非惯性系下,要考虑惯
性力的力矩;
② J、L必须相对于同一参考点;
③ 参考点为固定点;
2
F引 F , 就不变了, r
引力不能再使 r 减小 。 但在z 轴方向却无此限制, 可以在引力作用下不断收缩。
五.质心系的角动量定理
1. 角动量的柯尼希定理
在惯性系中,质点系相对确定参照点O的角动量等于 系统质心相对O的角动量与系统内各质点相对质心的 角动量之和
J rc M v c ric m i v ic
i i
rc m i v c ric m i v c
i
rc m i v ic ric m i v ic
i
角动量的柯尼希定理的推导
rc m i v c rc
第一项
i
i
mi
v c rc M v c
y
L F
r sin F d
力矩的几点说明
L F r sin F d
① 力矩L为矢量,数值:
方向:右手螺旋法则 ② 力矩与参照点有关,不指明参照点,力矩无意义 ③ L在直角坐标系下的描述
L ( yF z zF y ) i ( zF x x F z ) j ( x F y yF x ) k
i
角动量的柯尼希定理的推导
在惯性系,对于一固定参照点O,各质点的位矢ri,速 度为vi,质点组的角动量为
J
i
ri m i v i
因为 则有
ri rc ric , v i v c v ic
J
i
rc ric m i v c v ic
④ J 并非与L有关, L导致J 的变化;
⑤ 角动量守恒
• • •
若L=0,则有 J=J0(恒矢量),质点对o的角动量守恒;
L=0的原因:F=0 ;F与r的方向平行
若L≠0,但Lz=0,则有 Jz=Jz0,质点对z轴的角动量为恒量
例:F = 0,质点m作匀速直线运动,必有
J r mv A
角动量定义为
J r mv r P
角动量的几点说明
J mv r s in r m v s in
① 角动量为矢量,数值:
方向:右手螺旋法则
0
② 角动量与参照点有关,选不同的参考点,角动量不
相同;
J J xi J j Jzk
三个坐标分量
L x ( yF z zF y ) L y ( zF x xF z ) Lz ( xF y yF x )
④ Lx,Ly,Lz的意义
•
Lx=yFz-zFy ;与x无关,作用力F对于x轴的力矩
•
•
Ly=zFx-xFz ;与y无关,作用力F对于y轴的力矩
Lz=xFy-yFx ;与z无关,作用力F对于z轴的力矩
• J z ( xp y yp x )
;与z无关,质点对于z轴的角动量
⑥ 单位与量纲
• •
单位:千克·米2/ 秒 (kg·m2/s) 量纲:[L2MT-1]
例:质点m对于O’点的角动量 质点m对于O点的角动量
J ' r ' m v m L sin
2
J rm v m L sin
经典力学(上)
电子课件
易凡 wdyifan@
第三章 牛顿力学的运动定理 及守恒律
3.5
一.力矩
力矩与角动量
定义:
•
设作用力F作用于空间P点,选取空间一确定点o为
参照点,P点位矢为r,则力F对于o点力矩定义为
L r F
z
L
F
θ
o
r
d
m
x
L r F
L ri F i
L dJ dt
而
i
i
rc ric F i
i
rc F i
i
ric F i ric F i rc F ric F i
rc
i
Fi dvc dt
ri r j
rij
f ij
i
ri f ij
j(i)
i j
ri r j
f ij 0
而
i
ri F i L i L
i
(质点系的总力矩)
上式右边=
d d t ri m i v i d t i d dJ J i dt dt i d
比较两边可得
i
ric F i
d dt
i
ric m i v ic
2. 质心系的角动量的定理
令
则有
Lc
i
ric F i J c ,
i
ric m i v ic
J s
的整数或半奇数倍。
•
但因宏观物体的角动量比h大得多,所以宏观物体的
角动量可以看作是连续变化的。
三.质点的角动量定理
设空间一质点 m,受到作用力 F,速度为 v 。相对于 确定参照点o,位矢 r ;力矩为L,角动量 J。 考虑
dJ dt d dt (r m v ) dv dr dt mv r dm v dt dv
i
ri m i v i
可得
L
dJ dt
或
Ldt dJ
质点系的角动量定理(微分形式),与质点
的角动量定理形式一样
质点系角动量定理的说明
① 该定理仅适用于惯性系,在非惯性系下,要考虑 惯性力的力矩; ② 内力的力矩对系统的总角动量无贡献,但它可以 改变系统内各质点的角动量; ③ 角动量定理的积分形式为
t
t
0
Ld t J J 0
质点系角动量定理的说明
④ 关于角动量守恒
•
若 L=0,则有 J=J0(恒矢量),质点对o的角动 量守恒;
•
若 L≠0,但 Lz=0,则有 Jz=Jz0,质点系对z轴的 角动量守恒
盘 状 星 系
星云具有盘形结构:
pc — 秒差距,1pc = 3.0861016m 旋 转 的 星 云
m i v ic 0
第二项
i
rc m i v ic rc
i
第三项
i
ric m i v c
i
m i ric v c 0 c
m i ric c
i
i i
m i ( ri rc )
r dr r v
的矢径在相等的时间内扫过相等的面积
2ds c dr ds r 2 c' dt dt
面积速度为常量
四.质点系的角动量定理
•
定义: 在惯性系中,质点系内各个质点相对于某确定参照 点的角动量的矢量和称为质点系对该点的角动量
J J r m ivi
v mv r m
dt dt dv r m r F L ( v v 0) dt