三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L I =常量
➢ 守恒条件 M 0
若 I 不变，不变； 若 I 变， 也变，但 L I 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
9
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
Fr1dt I11 I10 Fr2dt I22
r11 r22
F
2 2
01
1
19
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
Fr1dt I11 I10
01
Fr2dt I22
F
1
r11 r22
2 2
得：
1
I10r22
I2r12 I1r22
2
I10r1r2
I2r12 I1r22
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
I11
I1 I2
21
试与下例的齿轮啮合过程比较。
18
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为I1 、 I2，开始 1
轮以 0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后
两轮的角速度。
解：两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理：
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
点击图片播放
10
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ， 如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动 员作各种快速旋转动作, 都利用了对转轴的角动量 守恒定律。
11
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
的动量矩（角动量）
L
r
p
r
mv
大 小L rmv sin
L 的方向符合右手法则
zL
v
rm
xo
y
L
v
r
角动量单位：kg·m2·s-1 3
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
开普勒第二定律
4
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
讨论：行星的掠面速度与动量矩（角动量）
移为将v行d星t ,看矢为径质r点在,ddtt
20
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例5 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一 端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
M
h
N
C
A
B
l/2
l
21
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
量为m的小球以速度v0与杆的一端发生完全弹 性碰撞，求小球的反弹速度v及杆的转动角速
度。
解：在水平面上，系统 角动量守恒，
o v0 m
L0 L
mlv0 mlv I （1）
16
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
弹性碰撞动能守恒
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
I2
（2）
o
其中
I 1 M ( 2l )2 1 Ml2
时间内以速度 v 完成的位
时间内扫过的面积为dS。
d S 1 r vdt 2
掠面速度 dS 1 r v dt 2
·m
f
r
o
r
vdt
为一不变量
L r p 即为一不变量
5
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
质点以 作半径为 r 的圆
周运动，相对圆心的动量矩 （角动量）
L
p
7
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
M
dL
微分形式
dt
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2 t1
Mdt
I2
I1
积分形式
t2 Mdt t1
冲量矩
非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
I 22
I11
8
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
m ,速度为 v0 。求 子弹细棒共同的角速度 。
解 子弹、细棒系统的角动量守恒
mv0 y I
其中
I
I棒
I子
1 ML2 3
my 2
1
mv0 y ML2 my2
3
讨论 水平方向动量守恒
Nx yv0mFra bibliotek153-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量
为M、长为2l、可绕中心转动的细杆，有一质
1
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
一 角动量
质点运动描述
p
mv，Ek
mv2
2
刚体定轴转动描述 L I，Ek I2 2
0, p 0
0, p 0
pi
p j
2
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
1、质点的角动量
质量为m 的质点以速 度 v 在空间运动，某时对 O 的位矢为 r ，质点对O
o
m r
L rm v mr2 I
2 刚体定轴转动的角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L I
z
O ri
vi
mi
6
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
二 刚体定轴转动的角动量定理
L I
由于刚体转动惯量为一常量
所以 dL I d I M
dt dt
即
M
dL
dt
称刚体定轴转动 的角动量定理
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
直线运动的描述（线量）： 位移、速度、加速度、力、动量、冲量、
动量定理、动能、动能定理…
定轴转动运动的描述（角量）： 角位移、角速度、角加速度、角力（力
矩）、角动量、角冲量（冲量矩） 、角动 量定理、转动动能、转动动能定理…
12
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
13
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
电荷守恒定律
能量守恒定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
四 角动量定理、角动量守恒的应用
14
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例：一均质棒，长度为 L，质量为M，现有子 弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为
12
3
联立(1)、(2)式求解
v (3m - M)v0 M 3m
6mv0
(M 3m)l
v0 m
17
3-2 力矩的时间累积效应 刚体的角动量定理
例3 摩擦离合器 飞轮1：I1、 1 摩擦
轮2： I2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两 轮达到的共同角速度。
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
I11 I1 I2