i i
参考点O，合外力矩 M M i ri Fi i i M - M ri Fi ri Fi i i (ri ri) Fi R Fi
──质点组的角动量守恒定律
§5-1 角动量与力矩
§5-1 角动量与力矩
第 五 章 角动量变化定理与角动量守恒
§5 1 角动量与力矩 §5-1 §5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒 §5-3 有心运动
1
一.质点的角动量(动量矩)
1.定义：在惯性参考系中选一固 定的参考点O，运动质点对O点的 位矢 r, 动量为 p, 则质点m对O点的 角动量为: L r p r mv
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
一.质点组的角动量变化定理
1.一对内力的力矩之和为零 如图示,一对内力 fij 和f ji ( fij ) M i M j ri fij rj f ji ( ri rj ) fij
17 18
由于质点所受的力始终指向或背向力心，当质点在初始时 刻的速度v0给定后，质点以后就只能在初速度v0和初始位 矢r所构成的平面内运动，所以，有心力场中质点的运动 必定在一个平面上，是二维的.
3
§5-3 有心运动
§5-3 有心运动
例 试利用角动量守恒定律,证明关于行星运动的开普勒第二 定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的时间内扫过 的面积相等，即掠面速度不变. 证明： 行星对太阳O的角动量 的大小为:
因为一对内力的力矩之和为零, M内 M i内 0 ∴
i
i
i

t2
t1
L2 Mdt dL L2 L1 L
L1
──质点组的角动量变化定理(积分形式) 质点组角动量的增量等于作用于质点组的合外力矩的角冲量.
11 12
2
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
dL 于是有： M 外 dt
( M 外 和 L 都对同一点)


──质点组的角动量变化定理(微分形式) 质点组所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率.
式中： M 外 M i外 ri Fi
i
M内 M i内 ri fij i i j i
大小：rmv sin
Z
L
O X
r
Y p mv
m

方向：右手螺旋法则
2
§5-1 角动量与力矩 例:圆运动 匀速圆运动 直线运动 匀速直线运动
§5-1 角动量与力矩 2.角动量的分量表示 L r p r mv
L rmv ⊙ L 常量 L mvd
6
方向：右手螺旋法则
--- F 对O点 的力臂


5
1
§5-1 角动量与力矩
§5-1 角动量与力矩 注意:力矩和角动量都是对于惯性系中同一点.
三.质点的角动量变化定理
由
d dp M r F 和 F ( mv ) dt dt dp d dr r p p M r dt d t dt dr dr v p v mv 0 dt dt d dL dL Mdt M (r p) dt dt —角动量变化定理 (微分形式)
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
二.质点组的角动量守恒定律
1.质点组的角动量守恒条件 由质点系的角动量定理, 若对于某点 某点而言,质点系所受的 外力矩之和为零, 则质点系对该点 该点的角动量（动量矩）不 随时间改变, 即：
若 M外 0 ,则 L C
2.合外力为零时合外力矩与参考点无关 参考点O，合外力矩： M M i ri Fi
若用 r表示从O到速度矢 量 v 的垂直距离，则有 r sin r
dS
1 r sin v dt 2 dS dt
其中dS /dt 称为掠面速度.
L r m v sin 2m
L = r p r m v sin
其中 是径矢 r与行星的动量 p或速度 v 之间的夹角.
R Fi
i
i
当 Fi 0
i
i
m2 r1 r1 r2 r2 r3 O m3 R r O 3 F3
M M
m1
F1 F2
13
合外力为零时合外力矩与参考点无关.
14
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
§5-3 有心运动
A
一对内力的角冲量之和为零.
9 10
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
2.质点组的角动量变化定理 质点组角动量： L Li (对同一点) i dLi dL d （ L） i dt dt i dt i （M i外 M i内） M 外 M内
例:如图, 理想轻滑轮, 轻绳, m1 = m2, 从静止开始, 问哪个猴先到? 解: m1, m2系统合外力矩为零， 对O角动量守恒. 设右边绳对地速度为V, 方向向上.
R1m1O NhomakorabeaT1
T2
§5-3 有心运动
一.质点在有心力场中的运动方程
1. 有心力
2 m1 m2
m2 m1g m2g
有心力:方向始终指向或背向一个固定中心的力 有心力场:有心力存在的空间
L 常量
⊙
v m O r
r
在直角坐标系中： L Lx i Ly j Lz k
Lx yp z zp y ymvz zmv y

v
Ly zpx xpz zmvx xmvz
p 不变 L 不变
L 不变, p 不一定不变
0 M i dt M j dt 0
mω0 r02 m r 2 v r 0 r02 r
由动能定理，有
0
r0
r
Fi
mi

r﹣ i rj fji
v0 F0
ri
O
fij

mj
Fj
rj
2 1 2 1 2 1 2 2r mv mv0 m0 r0 02 1 2 r 2 2 3 r0 2 2 当r 时，拉力的功为: A m0 r0 2 2
大小： r F sin F d
M
在直角坐标系中：M M x i M y j M z k
M x yFz zFy
O
d r
P
M y zFx xFz M z xFy yFx i M Mx,M y,Mz x Fx j y Fy k z Fz
(中心对称)有心力：有心力的大小仅与参考点P到力心O的
, 2 为m1,m2对绳的速度，有 1
V )R 0 m1 (1 V ) R m2 (2 ) 2 解得 V (1 2 ) 2 1 2 (1 2
15
距离r 有关，即 F = F ( r ) er 可以证明，这类有心力必定是保守力.

t2
t1
L2 Mdt dL L2 L1 L —角动量变化定理(积分形式)
L1
四.质点的角动量守恒定律
当 M 0 时，L 常量
若质点所受的合力矩为零, 则质点的角动量不随时间改变.
M r F
7
质点所受的合外力矩的冲量矩等于它的角动量增量-质点角动量变化定理
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§5-3 有心运动
§5-3 有心运动
2.运动方程 在有心力场中运动的质量为m的质点，其运动方程为 mr F ( r ) er
3. 二维平面运动与运动方程
二.角动量守恒和机械能守恒
有心力场中运动的质点的特点: 角动量守恒： 由于有心力对力心O的力矩为零，所以在有心力场中运 动的质点对力心O的角动量守恒. 机械能守恒： 由于有心力是保守力，所以在有心力场中运动的质点的 机械能也守恒.
O
d
m
Lz xp y ypx xmv y ymvx
3
i L Lx , Ly , Lz x px


j y py
k z pz
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§5-1 角动量与力矩
§5-1 角动量与力矩 2.力矩的分量表示 M rF F
二.力矩
1.定义： M rF
M 0
F 0 F 过 O点
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§5-1 角动量与力矩 例:小球质量为m.先使小球以角速度0绕管心作半径为r0的圆 周运动，然后向下拉绳子. 求:将小球拉至离中心r0/2处时，拉力 F0所作的功. 解:小球在有心力作用下运动: L 常量 L mvr m r 2
O
§5-2 质点组的角动量变化定理 角动量守恒
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由于万有引力是有心力，它对力心O的力矩总是等于零， 所以角动量守恒 L 常量



即
dS L 常量 dt 2 m
——开普勒第二定律
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